Exercícios Resolvidos de Aplicações com TVM

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2018.2, Questão Q01IV

Q01IV) A população de uma colônia de bactérias 1 hora após o início da cultura é de 2018 células. Sabendo-se que a colônia inicialmente tinha 2 organismos, mostre que em algum instante de tempo entre 0 e 1 hora a taxa de crescimento dessa população foi de exatamente 2016 bactérias por hora.

Passo 1

Esse enunciado confunde um pouco não é? Mas calma, vamos analisar ele direitinho. Ele fala de taxa de crescimento, certo? Taxa não te lembra derivada? Então vamos ter que pensar em algum:

p ' t

Que eu vou chamar de taxa de crescimento populacional. Oras, se   p ' t é a taxa, ou seja, d p t d t , então p t é a população absoluta em determinado instante t . Agora vamos pensar assim: as células crescem continuamente. Opa, se pensarmos assim, então:

p t = c o n t í n u a

Bem, então temos uma função contínua na qual conhecemos alguns pontos do enunciado. Se inicialmente tinham dois organismos, então:

p 0 = 2

Se uma hora depois tinham 2018 organismos:

p 1 = 2018

Ok, mas e daí? Pra que que eu vou usar esses pontos? Veja bem, segundo o Teorema do Valor Médio, não importa como que a função sai do ponto 0,2 e chega no ponto 1,2018 pois, se a função é contínua, em algum instante de tempo entre 0 e 1 a derivada de p t , ou seja, a taxa de crescimento, vai ter a mesma inclinação da reta que liga 0,2 a 1,2018 . Em matematiquês:

p ' c = p b - p a b - a   ,     c   ∈ a , b

Seja b = 1 e a = 0 :

p ' c = p 1 - p 0 1 - 0 = 2018 - 2 = 2016  

Logo, realmente exista algum instante de tempo c entre 0 e 1   h que faz com que a taxa de crescimento seja de 2016 b a c t é r i a s h o r a , visto que p ' c = 2016 .

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Resposta

p ' c = p 1 - p 0 1 - 0 = 2018 - 2 = 2016  

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