Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies

Calcule a área da superfície S obtida pela revolução da curva y = 1 - x 2 em torno do eixo y no intervalo - 1 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Área de superfície de revolução, sabemos que aqui precisamos usar o Teorema de Pappus! Vamos fazer um esboço da curva e da superfície pra entender melhor o enunciado:

Perceba que não precisamos rotacionar completamente a curva para obter essa superfície! Lembra daquele caso em que a curva é simétrica em relação ao eixo? Isso acontece aqui também. Então, para calcular a área correta, precisamos fazer metade da rotação só, com isso:

Á r e a = π ∫ C x d S

Precisamos parametrizar a curva, tirar o módulo da integral, calcular σ ' t e depois juntar tudo, beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Uma parametrização simples da curva y = 1 - x 2 é a seguinte:

x ( t ) = t

y ( t ) = 1 - t 2

- 1 ≤ t ≤ 1

Passo 3

Vamos começar analisando quando a função x ( t ) é positiva e quando é negativa:

x t = t

Dado o intervalo que obtivemos, - 1 ≤ t ≤ 1 , vemos que x ( t ) é positivo no intervalo 0 ≤ t ≤ 1 e negativo no intervalo - 1 ≤ t ≤ 0 , portanto:

x = t p a r a   0 ≤ t ≤ 1 - t p a r a - 1 ≤ t ≤ 0

π ∫ C x d S = π ∫ 0 1 t d S - π ∫ - 1 0 t d S

Passo 4

Precisamos agora calcular o termo σ ' t , para isso vamos derivar a nossa parametrização:

σ t = t , 1 - t 2

x ' t = 1

y ' t = - 2 t

σ ' t = 1 + - 2 t 2 = 4 t 2 + 1

σ ' t = 4 t 2 + 1

Passo 5

Juntando tudo na integral:

Á r e a = π ∫ 0 1 t 4 t 2 + 1 d t - π ∫ - 1 0 t 4 t 2 + 1 d t

Em ambas integrais vamos fazer a seguinte substituição:

u = 4 t 2 + 1

d u = 8 t   d t

t   d t = d u 8

t = - 1 → u = 4 - 1 2 + 1 = 5

t = 0 → u = 4 0 2 + 1 = 1

t = 1 → u = 4 1 2 + 1 = 5

Ficamos com:

Á r e a = π ∫ 1 5 u d u 8 - π ∫ 5 1 u d u 8

Podemos inverter a segunda integral se mudarmos o sinal né?

=   π ∫ 1 5 u d u 8 + π ∫ 1 5 u d u 8 = 2 π ∫ 1 5 u d u 8

π 4 2 3 u 3 2 u = 1 u = 5 = π 6 5 5 - 1

Á r e a = π 5 5 - 1 6

Resposta

π 5 5 - 1 6

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas