Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies

Ver Teoria

Enunciado

Seja C o segmento da reta z = 2 x com 1 ≤ x ≤ 3 no plano x z .

Considere a superfície de revolução S obtida girando C em torno do eixo z .

Determine a sua área.

Passo 1

Então, galera! Essa questão trata de um tema que geralmente não ganha muita importância, que é o Teorema de Pappus.

Ele é aplicado justamente para o cálculo de área de superfícies de revolução.

Na teoria nós vimos rotações em torno do eixo x e do eixo y né? Mas aqui o cara pede eixo z ! E agora? Problema nenhum! O invés de termos uma parametrização do tipo σ t = x t , y t , vamos achar uma parametrização do tipo σ t = x t , z t e usar nossas fórmulas normalmente!

A parametrização pra nossa curva z = 2 x fica:

σ t = t , 2 t ,       1 ≤ t ≤ 3

Então a área vai ser dada por:

A S = 2 π ∫ C x σ ' t d t

Passo 2

Substituindo os valores:

σ ' t = 1,2 = 5

A S = 2 π ∫ C x σ ' t d t = 2 π ∫ 1 3 t 5   d t

Como no intervalo 1,3 , t é sempre positivo podemos tirar esse módulo:

A S = 2 5 π ∫ 1 3 t   d t = 5 π t 2 1 3 = 5 π 9 - 1 = 8 5 π

Resposta

A S = 8 5 π

Exercícios de Livros Relacionados

Como se integra uma função sobre uma superfície parametrizada no espaço? E de superfícies que são definidas implicitamente ou na forma explícita? O que se pode calcular com asintegrais de superfície?
Área de uma região elíptica - Encontre a área da região elíptica cortada do plano x + y + z = 1 pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Área de uma calota parabólica - Encontre a área da calota cortada do paraboloide y 2 + z 2 = 3 z pelo plano x = 1 .
Cilindro circular cortado por planos - Integre g x , y , z = x 4 y y 2 + z 2 sobre a porção do cilindro y 2 + z 2 = 25 que está no primeiro octante entre os planos x = 0 e x = 1 e acima do plano z = 3