Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies

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Enunciado

Encontre a área da calota cortada do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z ≥ 0 pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Olá meu amigo, tudo bem? Antes de calcularmos a área propriamente dita, é melhor primeiro olhar a forma da nossa calota, e para isso utilizaremos o GeoGebra.

Nossa região é do círculo superior que está dentro do nosso ‘tubo’. A gente quer a área daquela casquinha de cima, pensa que é o topo brilhante de um calvo hehehe

Passo 2

Primeiro iremos manipular a expressão da esfera pra deixa-la forma f x , y = z . Pois assim poderemos utilizar uma formula para resolver essa integral.

z = 4 - x 2 - y 2

Para esse caso, nossa equação que calcula a área da superfície fica

A =   ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Realizando as derivadas parciais, teremos como resultado isso aqui

∂ z ∂ x 2 = x 2 16 - x 2 - y 2

E

∂ z ∂ y 2 = y 2 16 - x 2 - y 2

Passo 3

Desenvolvendo agora a raiz

1 + x 2 16 - x 2 - y 2 + y 2 16 - x 2 - y 2

16 16 - x 2 - y 2

Agora, para nossa paz e sossego iremos utilizar coordenadas polares para resolver essa querida integração, pois será bemmm mais facil para a gente. E para isso temos que,

d A = r d r d θ

x 2 + y 2 = r 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 1

E a nossa integral agora tem a seguinte cara

A =   ∫ 0 2 π ∫ 0 1 16 16 - r 2 r d r d θ

Calculando a integração mais interna

∫ 0 1 16 16 - r 2 r d r

u = 16 - r 2

d u =   - 2 r d r

1 2 ∫ 16 15 - d u u = - 2 2 u 1 2   ​ 16 15

= 4 - 15

Indo para a integral mais externa

∫ 0 2 π 4 - 15 d θ

= 2 π ( 4 - 15 )

E aqui terminamos nossa querida questão, forte abraço e até uma próxima.

Resposta

2 π ( 4 - 15 )

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