Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies

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Enunciado

Determine a área da superfície z = 2 3 x 3 2 + y 3 2 , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .O

Passo 1

Olá, tudo bem? Aqui é Yuri, sim sou eu novamente. Eu sei que voce gosta quando calculamos áreas de superfície, então eu trouxe algo especial para voce, uma formula que irá aliviar o seu trabalho. Ela é a seguinte,

A S =   ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Nesse caso a questão já nos deu os limites de integração e a nossa função em função de z, pois para usar esta formula precisamos que nossa superfície esteja em função de z, cabe a nós agora calcularmos as derivadas parciais.

Passo 2

∂ z ∂ x = 2 3 ∙ 3 2 x 1 2 = x 1 2  

∂ z ∂ y = 2 3 ∙ 3 2 y 1 2 = y 1 2

E assim temos agora que a função que devemos integrar é

1 + x + y

Próximo passo é montar a integral e calcular.

Passo 3

∬ 1 + x + y d A

∫ 0 1 ∫ 0 1 1 + x + y d y d x

iremos substituir para integrar, onde u = 1 + x + y e iremos considerar x como constante, então

d u = d y

∫ u d u = u 1 2 + 1 1 2 + 1 = 2 3 u 3 2

Continuando nossa integração

A =   ∫ 0 1 2 3 1 + x + 1 3 / 2 d x = 2 3 ∫ 0 1 x + 2 3 2 - x + 1 3 2 d x

A = 2 3 x + 2 5 2 5 2 ​ x = 0 1 - 2 3 x + 1 5 2 5 2 ​ x = 0 1

= 2 3 ∙ 2 5 3 5 2 - 2 3 ∙ 2 5 2 5 2 - 2 3 ∙ 2 5 2 5 2 + 2 3 ∙ 2 5 1 5 2

= 4 15 3 5 2 - 2 5 2 + 1

A = 4 15 3 5 2 - 2 7 2 + 1

Resposta

A = 4 15 3 5 2 - 2 7 2 + 1

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