Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies

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Enunciado

Compute o fluxo do campo vetorial F x , y , z = z i + y j + x k aravés da esfera unitária x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Passo 1

Beleza? Pronto para utilizar o Teorema do divergente? Ele é uma excelente pedida quando temos que calcular o fluxo em um campo vetorial, o querido tem a seguinte forma

∯ F d S =   ∭ ∇ F d V

A nossa integração será em relação da nossa esfera de raio 1.

Passo 2

Primeira coisa, calcular o divergente meu amigo:

∇ ∙ F =   ∂ x F x + ∂ y F y + ∂ z F z = 1

Agora aqui temos um milagre, os deuses da matemática nos amam, como o nosso divergente é 1, nossa integral se torna apenas o volume da região, região essa que é a esfera unitária, sendo assim já sabemos qual o seu valor:

4 3 π r 3

4 3 π

Resposta

4 3 π

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