Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies

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Enunciado

Calcule ∮ F ∙ d r , onde F x , y =   - y 2 i + x k + z 2 k e C é a interseção do plano y + z = 2 com o cilindro x 2 + y 2 = 1 . (Oriente C no sentido anti-horário quando visto de cima).

Passo 1

Olá meu caro amigo, saudades de você. Fico feliz que tenha voltado para estudar mais um pouco de cálculo. A curva C (uma elipse) está mostrada na Figura abaixo. Apesar de poder ser calculada diretamente, é mais simples usar o Teorema de Stokes. É sempre importante procurarmos caminhos mais facil, então vejamos

Passo 2

Vamos inicialmente calcular

r o t   F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z - y 2 x z 2 = 1 + 2 y k

Apesar de existirem muitas superfícies com fronteira C, a escolha mais conveniente é a

região elíptica S no plano y + z = 2 cuja fronteira é C. Se orientarmos S para cima, em seguida, C tem a orientação induzida positiva. A projetação de D de S no plano xy será um disco x 2 + y 2 = 1 , agora integrando

∫ F ∙ d r =   ∬ r o t   F ∙ d S =   ∬ 1 + 2 y d A

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + 2 r sin ⁡ θ r d r d θ

= ∫ 0 2 π [ r 2 2 + 2 3 r 3 sin ⁡ θ ] 0 1 =   ∫ 0 2 π ( 1 2 + 2 3 sin ⁡ θ ) d θ

= 1 2 2 π + 0 = π

Resposta

π

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