Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies

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Enunciado

Calcule a integral ∫ C ( - 7 x + e 4 + x 2 ) d x + ( 3 x + c o s ( 1 + y 2 ) ) d y onde C é a fronteira (orientada positivamente) da região delimitada pelas curvas y = x 3 e y = x no primeiro quadrante.

Passo 1

Eaew, beleza?

Precisamos calcular a seguinte integral de linha

∫ C ( - 7 x + e 4 + x 2 ) d x + ( 3 x + c o s ( 1 + y 2 ) ) d y

em que a curva C é a fronteira da região entre as curvas y = x 3 e y = x no primeira quadrante, ou seja, a seguinte região

Quando temos uma integral calculada ao longo de uma curva que é fronteira orientada positivamente de uma região, isso grita para usarmos o teorema de Green, que nos diz que

∫ C P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ ∫ R ( ∂ Q ( x , y ) ∂ x - ∂ P ( x , y ) ∂ y ) d A

Então todo o problema revolve em mudar o tipo de integração que iremos realizar! belezinha? vamos lá!

Passo 2

Observando a nossa integral, temos que

P ( x , y ) = ( - 7 x + e 4 + x 2 ) e Q ( x , y ) = ( 3 x + c o s ( 1 + y 2 ) )

Calculando as derivadas parciais

∂ Q ( x , y ) ∂ x = ∂ ∂ x [ 3 x + c o s ( 1 + y 2 ) ]

lembre, que quando calculamos a derivada parcial em relação a x toda função de y é tomada como constante, portanto, temos que a derivada acima se reduz à

∂ ∂ x [ 3 x + c o s ( 1 + y 2 ) ] = ∂ ∂ x [ 3 x ] + ∂ ∂ x [ c o s ( 1 + y 2 ) ] = 3 ∂ ∂ x [ x ] + 0

já que derivadas de constantes são 0 . Lembrando então que ∂ ∂ x [ x ] = 1 pela regra do tombo, temos que

∂ Q ( x , y ) ∂ x = 3

Agora, para a outra derivada parcial, temos que

∂ P ( x , y ) ∂ y = ∂ ∂ y [ - 7 x + e 4 + x 2 ]

note que na verdade P ( x , y ) é simplesmente P ( x ) , ou seja, a derivada em relação a y desta função é simplesmente 0 , temos que

∂ P ( x , y ) ∂ y = 0

e, finalmente, nossa integral irá se tornar

∫ C ( - 7 x + e 4 + x 2 ) d x + ( 3 x + c o s ( 1 + y 2 ) ) d y = ∫ ∫ R ( 3 - 0 ) d A = 3 ∫ ∫ R d A

Ótimo! Bem mais simples não é? Agora é só determinarmos a ordem da nossa integração! E o problema já era!

Passo 3

Note que a variável x varia simplesmente de 0 até 1 (dá uma olhada em nossa região), mas, a variável y vai de x 3 até x , portanto, precisamos primeiro integrar em y , já que os limites são funções de x , temos então que

3 ∫ ∫ R d A = 3 ∫ 0 1 [ ∫ x 3 x d y ] d x

A primeira integral pode ser identificada através de primitiva como

∫ x 3 x d y = y | x 3 x = x - x 3

Usando este resultado, temos que

3 ∫ 0 1 [ ∫ x 3 x d y ] d x = 3 ∫ 0 1 [ x - x 3 ] d x = 3 ∫ 0 1 x d x - 3 ∫ 0 1 x 3 d x

Ambas as integrais podem ser identificadas em termos de primitivas, temos que

∫ 0 1 x d x = 1 1 + 1 [ x 1 + 1 ] | 0 1 = 1 2 [ x 2 ] | 0 1

ou, simplesmente

∫ 0 1 x d x = 1 2 [ 1 2 - 0 2 ] = 1 2

Da mesma forma, temos para a segunda integral que

∫ 0 1 x 3 d x = 1 3 + 1 [ x 3 + 1 ] | 0 1 = 1 4 [ x 4 ] 0 1

avaliando os limites

∫ 0 1 x 3 d x = 1 4 [ 1 4 - 0 4 ] = 1 4

Ou seja, usando ambos os resultados, temos que a nossa integral é

∫ C ( - 7 x + e 4 + x 2 ) d x + ( 3 x + c o s ( 1 + y 2 ) ) d y = 3 ( 1 2 ) - 3 ( 1 4 ) = 3 4

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ C ( - 7 x + e 4 + x 2 ) d x + ( 3 x + c o s ( 1 + y 2 ) ) d y = 3 4

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