Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies

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Enunciado

Questão 1) Seja C a curva dada por

x t = 3 sin ⁡ t + cos ⁡ t ,                       y t = 2 sin ⁡ t - cos ⁡ t ,                 o n d e                 t ∈ 0 ,   2 π .

Determine a érea da região delimitada por C .

Passo 1

A área de uma região plana R sempre é dada por uma integral dupla, bem famosa por sinal:

A R = ∬ R   1   d A

Acontece que essa forma de calcular a área, precisamos descrever a região R de alguma forma - normalmente é do tipo 1 ou 2 . Mas se você notar, não temos uma região muito legal, então vai ser difícil descrevê-la.

Bem, então o que fazer?

Vamos usar o que temos em mãos, a curva ;)

Passo 2

O fato de ter uma curva já parametrizada delimitando uma região indica que vamos ter que utiliza-la, mas como? Bem pelo teorema de Green, temos uma relação entre a integral de linha com a dupla:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ R   ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d A

Onde F → é uma função vetorial com expressão...

F → x ,   y = P ,   Q

Então repare que se fizermos...

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 1

Temos a área relacionada com uma integral de linha.

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ R   1   d A = Á r e a

Agora a pergunta que não sequer calcular: Quem vem a ser a função F → ? Bem, qualquer função que satisfaça a condição dessa subtração de derivadas parciais, saca? É sempre interessante pegar:

F → x ,   y = 0 ,   x

Passo 3

Agora, não podemos sair aplicando essa igualdade entre essas integrais assim... De qualquer maneira. Temos sempre que averiguar se estamos nas condições belezinha do Teorema:

1º - C deve ser uma curva fechada delimitando R :

Infelizmente não temos como desenhar essa curva pra saber se ela de fato é fechada e delimita essa R , mas se você perceber, a curva que foi dada...

r → t = 3 sin ⁡ t + cos ⁡ t ,   2 sin ⁡ t - cos ⁡ t ,     c o m       t ∈ 0 ,   2 π

Chamada aqui de r → (apenas um nome pra ficar mais organizado) é uma curva fechada, pelo fato de que...

r → 0 = 3 sin ⁡ 0 + cos ⁡ 0 ,   2 sin ⁡ 0 - cos ⁡ 0 = 3 ,   - 2

r → 2 π = 3 sin ⁡ 2 π + cos ⁡ 2 π ,   2 sin ⁡ 2 π - cos ⁡ 2 π = 3 ,   - 2

Ou seja, o ponto final e o inicial são os mesmos e a curva é contínua, então ela é fechada com certeza, e ela delimita a região R ;)

2º - Ela deve estar orientada positivamente:

O que também já acontece pelo fato dela girar no sentido anti-horário.

3º - A função F → não pode ter singularidades:

Ora, a gente quem escolheu essa função, e a gente não ia pegar uma com fração pra correr o risco do denominador zerar em algum lugar, neh?

Passo 4

Condições satisfeitas, de fato podemos aplicar a igualdade:

A = ∫ C   F → ⋅ d r →

Se vamos buscamos a solução dessa integral de linha do modo diretão, nada mais justo que seguirmos o passo a passo maroto de resolução desse tipo de integral:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando
  2. Substituir os termos do campo vetorial F → x ,   y pelos termos da parametrização
  3. Encontrar o termo d r →

Passo 5

Deveríamos aqui parametrizar essa curva, mas para a nossa alegria... Ela já está parametrizada !

r → t = 3 sin ⁡ t + cos ⁡ t ,   2 sin ⁡ t - cos ⁡ t

Onde t varia...

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 6

Beleza! Agora devemos prosseguir substituindo no campo vetorial F → x ,   y , esse x e y pelos termos da parametrização:

F → x ,   y = 0 ,   x   →

Como na parametrização que temos,   r → t = 3 sin ⁡ t + cos ⁡ t ,   2 sin ⁡ t - cos ⁡ t , x é a primeira entrada e y é a segunda...

x = 3 sin ⁡ t + cos ⁡ t

y = 2 sin ⁡ t - cos ⁡ t

Basta substituir no campo vetorial:

F → r → t = 0 ,   3 sin ⁡ t + cos ⁡ t  

Passo 7

Para encontrar o termo d r → , basta sabermos que facilmente o encontramos fazendo:

d r → = r → ' t d t

Como no caso a parametrização foi r → t = 3 sin ⁡ t + cos ⁡ t ,   2 sin ⁡ t - cos ⁡ t , derivando cada termo do vetor em relação a t ...

r → t = 3 sin ⁡ t + cos ⁡ t ,   2 sin ⁡ t - cos ⁡ t       →

    r → ' t = 3 cos ⁡ t - sin ⁡ t ,   2 cos ⁡ t + sin ⁡ t

Logo...

d r → = 3 cos ⁡ t - sin ⁡ t ,   2 cos ⁡ t + sin ⁡ t d t

Passo 8

Voltando para a integral de linha que estamos trabalhando

A R = ∫ C   F → x ,   y d r →

e substituir todos os dados que obtivemos...

∫ C   F → x ,   y d r → = ∫ 0 2 π 0 ,   3 sin ⁡ t + cos ⁡ t ⋅ 3 cos ⁡ t - sin ⁡ t ,   2 cos ⁡ t + sin ⁡ t d t =

Não se esqueça de realizar esse produto escalar de vetores aí, heim!

∫ 0 2 π 3 sin ⁡ t + cos ⁡ t ⋅ 2 cos ⁡ t + sin ⁡ t   d t =

6 ∫ 0 2 π cos ⁡ t + sin ⁡ t 2   d t

Agora basta que resolva a integral e correr para o abraço!

6 ∫ 0 2 π cos ⁡ t + sin ⁡ t 2   d t = 6 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t + 2 sin ⁡ t cos ⁡ t + sin 2 ⁡ t   d t =

6 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t + 2 sin ⁡ t cos ⁡ t + sin 2 ⁡ t   d t =

6 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t + 2 sin ⁡ t cos ⁡ t   d t =

Como cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 ...

6 ∫ 0 2 π 1 + 2 sin ⁡ t cos ⁡ t   d t =

Essa integral aí, podemos separar em duas...

6 ∫ 0 2 π 1   d t + 6 ∫ 0 2 π 2 sin ⁡ t cos ⁡ t   d t =

A primeira integral morre imediatamente...

6 2 π - 0 + 6 ∫ 0 2 π 2 sin ⁡ t cos ⁡ t   d t = 12 π + 6 ∫ 0 2 π 2 sin ⁡ t cos ⁡ t   d t =

Quanto essa segunda integral, também sai fazendo uma mudança simples...

sin ⁡ t = a           →             d a = cos ⁡ t d t

Trocando também os limites

t = 0               →               a = sin ⁡ 0 = 0

t = 2 π               →               a = sin ⁡ 2 π = 0

Percebemos que eles são exatamente os mesmos limites e como a função cosseno vezes seno é contínua, a integral zera sobrando somente...

A R = ∫ C   F → x ,   y d r → =

12 π + 6 ∫ 0 2 π 2 sin ⁡ t cos ⁡ t   d t =

12 π

Eis a área encontrada pelo método da integral de linha, saca?

Resposta

12 π

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