Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies

Ver Teoria

Enunciado

Calcule a área da superfície de revolução S gerada pela curva plana definida pela equação

x 2 + y 2 2 - 2 x x 2 + y 2 = y 2

em torno da reta paralela ao eixo x passando pelo ponto ( 0 , - 2,0 ) .

Passo 1

Então, galera! Essa questão trata de um tema que geralmente não ganha muita importância, que é o Teorema de Pappus.

Ele é aplicado justamente para o cálculo de área de superfícies de revolução.

Quando a rotação ocorre em torno do eixo x , a área é dada por:

A S = 2 π ∫ C y   d S

Onde o | y | faz o papel do raio.

Quando a rotação ocorre em torno do eixo y , a área é dada por:

A S = 2 π ∫ C x   d S

Onde d S = x ' θ 2 + y ' θ 2 + z ' θ 2   d θ e o x fazendo o papel do raio.

Passo 2

Porém, como o eixo de rotação é paralelo ao eixo x passando pelo ponto 0 , - 2,0 o nosso raio vai ser

r = y - - 2

Porque o eixo agora é o x = - 2

, a área será dada por

A S = 2 π ∫ C 2 + y   d S

d S = x ' θ 2 + y ' θ 2 + z ' θ 2   d θ

Porém, como a equação que o problema nos dá é muito esquisita pra propor uma parametrização, vamos começar com algumas parametrizações simples para rotações:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = 0

Vamos substituir isso na equação que o problema nos dá e tentar encontrar uma relação entre r e θ .

Passo 3

x 2 + y 2 2 - 2 x x 2 + y 2 = y 2

Substituindo as parametrizações na equação:

r 2 sen 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ 2 - 2 r cos ⁡ θ r 2 sen 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ = r 2 sen 2 ⁡ θ

Como sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , podemos simplificar a equação:

r 2 2 - 2 r cos ⁡ θ r 2 = r 2 sen 2 ⁡ θ

Pra deixar tudo como função de cos ⁡ θ , vamos usar a identidade sen 2 ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ . Além disso, vou simplificar esse troço e dividir todo mundo por r 2 , ok?

r 2 - 2 r cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

r - cos ⁡ θ 2 = 1

A partir daqui, temos duas possibilidades:

r = - 1 + cos ⁡ θ

r = 1 + cos ⁡ θ

Mas como r não pode ser negativo e o cos ⁡ θ varia entre - 1 e 1 , a opção que serve para nós é esta

r = 1 + cos ⁡ θ

Passo 4

Agora as nossas parametrizações ficam assim

γ θ = ( ( 1 + cos ⁡ θ ) cos ⁡ θ , 1 + cos ⁡ θ sen ⁡ θ , 0 )

Agora podemos calcular d S .

x θ = 1 + cos ⁡ θ cos ⁡ θ → x ' θ = - sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 1 + cos ⁡ θ sen ⁡ θ

x ' θ = - sen ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = - sen ⁡ θ - sen ⁡ ( 2 θ )

y θ = 1 + cos ⁡ θ sen ⁡ θ → y ' θ = - sen 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

y ' θ = cos ⁡ θ + cos ⁡ ( 2 θ )

Tá dando trabalho, eu sei... mas não se entregue! d S = x ' θ 2 + y ' θ 2 + z ' θ 2   d θ

d S = - sen ⁡ θ - sen ⁡ ( 2 θ ) 2 + cos ⁡ θ + cos ⁡ ( 2 θ ) 2 + 0   d θ

d S = sen 2 ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ sen ⁡ ( 2 θ ) + sen 2 ⁡ ( 2 θ ) + cos 2 ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ cos ⁡ ( 2 θ ) + cos 2 ⁡ ( 2 θ ) d θ

Bom, vamos usar as identidades sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 e sen 2 ⁡ ( 2 θ ) + cos 2 ⁡ ( 2 θ ) = 1 :

d S = 2 + 2 sen ⁡ θ sen ⁡ ( 2 θ ) + 2 cos ⁡ θ cos ⁡ ( 2 θ )   d θ

Bom, agora vamos tentar ajeitar isso aqui, pra isso, vamos substituir sen ⁡ ( 2 θ ) por 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ e cos ⁡ ( 2 θ ) por ( cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ ) .

d S = 2 + 4 sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ cos 2 ⁡ θ - 2 sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ   d θ

d S = 2 + 2 sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ ( 1 - sen 2 ⁡ θ )   d θ

d S = 2 + 2 sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ - 2 sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ   d θ

d S = 2 + 2 cos ⁡ θ   d θ

Aeeee! Credeuspai, acabou!

Passo 5

A S = 2 π ∫ C 2 + y   d S

Substituindo tudo que encontramos, e lembrando que vamos dar uma volta completa com as coordenadas polares, ou seja, θ vai de 0 à 2 π :

A S = 2 π ∫ 0 2 π 2 + 1 + cos ⁡ θ sen ⁡ θ 2 + 2 cos ⁡ θ   d θ

Como 1 + cos ⁡ θ sen ⁡ θ nunca vai ser menor que - 2 , 2 + 1 + cos ⁡ θ sen ⁡ θ vai ser sempre maior que zero e podemos jogar o módulo fora!

A S = 2 π 2 ∫ 0 2 π 2 + 1 + cos ⁡ θ sen ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ   d θ

A S = 2 π 2 ∫ 0 2 π 2 1 + cos ⁡ θ + 1 + cos ⁡ θ sen ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ   d θ

A S = 2 π 2 ∫ 0 2 π 2 1 + cos ⁡ θ + 1 + cos ⁡ θ 3 / 2 sen ⁡ θ   d θ

Separando as integrais:

A S = 4 π 2 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ θ   d θ + 2 π 2 ∫ 0 2 π sen ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 3 / 2   d θ

Passo 6

∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ θ   d θ

Lembra dessa identidade?

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Então, vamos fazer o seguinte:

cos 2 ⁡ θ 2 = 1 + cos ⁡ θ 2

1 + cos ⁡ θ = 2 cos ⁡ θ 2

Logo:

∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ θ   d θ = 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ θ 2   d θ

Aqui temos que separar essa integral, vamos entender o sinal de cos ⁡ θ 2 com θ indo de 0 à 2 π .

Se tivermos θ indo de 0 a π o cosseno da metade disso vai de 0 à 1 , ou seja ele é sempre positivo.

Se tivermos θ indo de π a 2 π o cosseno da metade disso vai de - 1 à 0 , ou seja ele é sempre negativo.

Assim temos que separar nossa integral, essa parada vai ficar

2 ∫ 0 2 π cos ⁡ θ 2   d θ = 2 ∫ 0 π cos ⁡ θ 2   d θ + 2 ∫ π 2 π - cos ⁡ θ 2   d θ

= 2 2 sen ⁡ θ 2 0 π - 2 2 sen ⁡ θ 2 π 2 π =

= 2 2 sen ⁡ π 2 - 2 sen ⁡ 0 2 - 2 2 sen ⁡ 2 π 2 - 2 sen ⁡ π 2 =

= 2 2 ∙ 1 - 2 ∙ 0 - 2 2 ∙ 0 - 2 ∙ 1 =

= 2 2 + 2 2 =

4 2

Passo 7

∫ 0 2 π sen ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 3 / 2   d θ

Resolvendo essa integral por substituição:

u = 1 + cos ⁡ θ

d u = - sen ⁡ θ d θ

= - ∫ u 3 2 d u = - u 5 / 2 5 / 2

= - 2 5 1 + cos ⁡ θ 5 2 0 2 π = 0  

Passo 8

A S = 4 π 2 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ θ   d θ + 2 π 2 ∫ 0 2 π sen ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 3 / 2   d θ

A S = 4 π 2 ∙ 4 2

A S = 32 π

OBS: Eu sei que o gabarito do IM está diferente desse aqui, mas eu joguei essas integrais no Mathematica e a resposta deu igual a minha, tem alguns pequenos erros no gabarito dessa questão como por exemplo a integração de cos ⁡ θ 2 .

Resposta

A S = 32 π

Exercícios de Livros Relacionados

Como se integra uma função sobre uma superfície parametrizada no espaço? E de superfícies que são definidas implicitamente ou na forma explícita? O que se pode calcular com asintegrais de superfície?
Área de uma região elíptica - Encontre a área da região elíptica cortada do plano x + y + z = 1 pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Área de uma calota parabólica - Encontre a área da calota cortada do paraboloide y 2 + z 2 = 3 z pelo plano x = 1 .
Cilindro circular cortado por planos - Integre g x , y , z = x 4 y y 2 + z 2 sobre a porção do cilindro y 2 + z 2 = 25 que está no primeiro octante entre os planos x = 0 e x = 1 e acima do plano z = 3