Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies

Calcule a área da superfície S obtida pela revolução da curva σ ( t ) em torno do eixo y .

σ t = cos t ,   1 + sen t

0 t π 2

Passo 1

Rotação de uma curva em relação ao eixo y , né? O enunciado nos pede a área da superfície gerada, isso é exatamente o tipo de questão pra usarmos o teorema de pappus! Como já temos a nossa superfície parametrizada, vamos aplicar direto o teorema!

É válido a gente fazer o esboço do gráfico para saber se a área é igual a rotação completa da curva, lembra? No nosso exercício a curva é assim:

E a superfície gerada é essa aqui:

Percebe que precisamos dar a volta completa dessa curva para gerar a superfície, certo? Portanto usamos a fórmula do teorema de pappus normalmente:

Á r e a = 2 π C x d S

Usamos módulo de x porque a rotação é ao redor do eixo y , lembra?

Beleza, então precisamos tirar esse módulo de dentro da integral, calcular o valor de σ ' t e depois resolver a integral, vamos lá?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos tirar o módulo da integral, primeiro, para isso precisamos analisar se x é positivo ou negativo no intervalo dado!

x t = cos t

0 t < π 2

A função cos t é sempre positiva nesse intervalo, certo? Então, para todo o intervalo:

x = x = cos t

Passo 3

Precisamos calcular o valor de σ ' t , para isso, vamos derivar a parametrização da curva:

σ t = cos t ,   1 + sen t

x ' t = - sen t

y ' t = cos t

σ ' t = - sen t 2 + cos t 2 = 1

σ ' t = 1

Passo 4

Voltando para a nossa integral:

Á r e a = 2 π C x d S = 2 π 0 π 2 cos t d t

= 2 π sen t t = 0 t = π 2 = 2 π sen π 2 - sen 0 = 2 π

Resposta

2 π

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