Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies

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Enunciado

Calcule a área da superfície S obtida pela revolução em torno do eixo- x da curva parametrizada por

σ θ = 1 + cos ⁡ θ ,   1 + sen ⁡ θ ,   0 ,     π ≤ θ ≤ 3 π 2

Passo 1

Então, galera! Essa questão trata de um tema que geralmente não ganha muita importância, que é o Teorema de Pappus.

Ele é aplicado justamente para o cálculo de área de superfícies de revolução.

Quando a rotação ocorre em torno do eixo x , a área é dada por:

A S = 2 π ∫ C y   d S

Quando a rotação ocorre em torno do eixo y , a área é dada por:

A S = 2 π ∫ C x   d S

Onde:

d S = x ' θ 2 + y ' θ 2 + z ' θ 2   d θ

Passo 2

Como a rotação ocorre em torno do eixo x , a fórmula que vamos usar é essa aqui:

A S = 2 π ∫ C y   d S

Onde:

d S = x ' θ 2 + y ' θ 2 + z ' θ 2   d θ

Passo 3

O nosso y ( θ ) é dado por:

y θ = 1 + sen ⁡ θ

Como a função sen ⁡ θ varia entre - 1 e 1 , o valor de y ( θ ) vai ser sempre positivo, independente de t , concorda?

Então:

y t = y ( t )

Passo 4

Vamos notar o seguinte:

d S = x ' θ 2 + y ' θ 2 d θ

x θ = 1 + cos ⁡ θ → x ' θ = - sen ⁡ ( θ )

y θ = 1 + sen ⁡ θ → y ' θ = cos ⁡ θ

z ( θ ) = 0 → z ' θ = 0

d S = sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ( θ )   d θ

d S = d θ

Passo 5

Agora é só jogar tudo na integral!

A S = 2 π ∫ C y   d S

A S = 2 π ∫ π 3 π 2 1 + sen ⁡ θ d θ

A S = 2 π θ - cos ⁡ θ π 3 π / 2

A S = 2 π 3 π 2 - 0 - π - - 1

A S = 2 π π 2 - 1

Resposta

A S = 2 π π 2 - 1

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