Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies

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Enunciado

Questão 3) Calcule:

b) A área delimitada pela curva dada ela parametrização r → : - 1 ,   1 → R 2 onde

r → t = 0 ,   - 1                                                                     p a r a         t = 0   sin 2 ⁡ π t t ,   t 2 - 1                         p a r a         t ≠ 0

Passo 1

Pow, cara, para calcular a área dentro dessa curva aí, precisamos com muita urgência saber se a curva é fechada ou não. Bem, desenha-la está fora de condição, neh, mas vamos usar um truque matemático:

Vamos verificar os pontos de inicio e fim, pois ora, se a curva for fechada, esse ponto tem que ser o mesmo:

t = - 1             →                     sin 2 ⁡ π - 1 - 1 ,   - 1 2 - 1 =

0 - 1 ,   1 - 1 = 0 ,   0

Quando t é 1 , a curva é...

t = - 1             →                     sin 2 ⁡ π 1 ,   1 2 - 1 =

0 1 ,   1 - 1 = 0 ,   0

Epa! O ponto é o mesmo! Isso é uma ótima indicação de que a curva é fechada. Mas veja! Essa condição não é suficiente. Afinal de contas, precisamos de uma curva que seja contínua e suave!

Ora bolas, então temos que verificar se quando nos aproximamos na curva ao t = 0 , chagamos ao valor da parametrização no ponto t = 0 ...

sin 2 ⁡ π t t ,   t 2 - 1         →               0 ,   - 1

Calculando o limite na primeira função...

lim t → 0 ⁡ sin 2 ⁡ π t t

Como substituindo o t = 0 ali obtemos o 0 / 0 , podemos aplicar L’Hopital:

lim t → 0 ⁡ sin 2 ⁡ π t t = lim t → 0 ⁡ sin 2 ⁡ π t ' t ' =

lim t → 0 ⁡ 2 π sin ⁡ π t cos ⁡ π t 1 = 0

Então de fato a primeira coordenada vai a 0 , mas e a segunda... Vai a   - 1 ?

lim t → 0 ⁡ t 2 - 1 = - 1

Opa! Também foi! Então podemos afirmar que a parametrização é contínua em todos os pontos, portanto r → t é uma curva fechada!

Passo 2

Então, para verificar se a curva é suave por partes, basta calcularmos a derivada dela (fora do ponto t = 0 )...

r → t = sin 2 ⁡ π t t ,   t 2 - 1 →

Derivando atentando-se a regra da cadeia e da fração...

r ' t = sin 2 ⁡ π t t ,   t 2 - 1 ' =

t sin 2 ⁡ π t ' - sin 2 ⁡ π t t ' t 2 ,   2 t

t 2 π sin ⁡ π t ⋅ cos ⁡ π t - sin 2 ⁡ π t t 2 ,   2 t

2 π t sin ⁡ π t cos ⁡ π t - sin 2 ⁡ π t t 2 ,   2 t

Opa! Então para qualquer t menos o 0 , a derivada existe (e ela aí ) e contínua. No t = 0 , não nos interessa muito, afina já vimos que a curva é fechada, isso já garante que podemos prosseguir ao cálculo da área ;)

Passo 3

A área de uma região plana R sempre é dada por uma integral dupla, bem famosa por sinal:

A R = ∬ R   1   d A

Acontece que essa forma de calcular a área, precisamos descrever a região R de alguma forma - normalmente é do tipo 1 ou 2 . Mas se você notar, não temos uma região definida, então vai ser difícil descrevê-la.

Bem, então o que fazer?

Vamos usar o que temos em mãos, a curva ;)

Passo 4

O fato de ter uma curva já parametrizada e fechada delimitando a região R que queremos a área, indica que vamos ter que utiliza-la, mas como? Bem pelo teorema de Green, temos uma relação entre a integral de linha com a dupla:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ R   ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d A

Onde F → é uma função vetorial com expressão...

F → x ,   y = P ,   Q

Então repare que se fizermos...

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 1

Temos a área relacionada com uma integral de linha.

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ R   1   d A = Á r e a

Agora a pergunta que não quer calar: quem vem a ser a função F → ? Bem, qualquer função que satisfaça a condição dessa subtração de derivadas parciais. É sempre interessante pegar:

F → x ,   y = 0 ,   x

Passo 5

Aplicando então a igualdade...

A = ∫ C   F → ⋅ d r →

Se vamos buscamos a solução dessa integral de linha do modo diretão, nada mais justo que seguirmos o passo a passo maroto de resolução desse tipo de integral:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando:
  2. Já está feita...

    r → t = 0 ,   - 1                                                                     p a r a         t = 0   sin 2 ⁡ π t t ,   t 2 - 1                         p a r a         t ≠ 0

    - 1 ≤ t ≤ 1

  3. Substituir os termos do campo vetorial F → x ,   y pelos termos da parametrização...
  4. F → x ,   y = 0 ,   x

    Como x = sin 2 ⁡ π t t na curva...

    F → x ,   y = 0 , sin 2 ⁡ π t t  

    (veja que x também é 0 quando estamos no ponto t = 0 , mas um ponto só é irrelevante neh?)

  5. Encontrar o termo d r →

Bem, já está quase tudo feito também, afinal...

d r → = r ' t d t

d r → = 2 π t sin ⁡ π t cos ⁡ π t - sin 2 ⁡ π t t 2 ,   2 t d t

Passo 6

Voltando para a integral de linha que estamos trabalhando

A R = ∫ C   F → x ,   y d r →

e substituir todos os dados que obtivemos...

∫ C   F → x ,   y d r → = ∫ - 1 1 0 , sin 2 ⁡ π t t ⋅ 2 π t sin ⁡ π t cos ⁡ π t - sin 2 ⁡ π t t 2 ,   2 t d t =

Não se esqueça de realizar esse produto escalar de vetores aí, heim!

∫ C   F → x ,   y d r → = ∫ - 1 1 sin 2 ⁡ π t t 2 t d t =

2 ∫ - 1 1 sin 2 ⁡ π t d t =

Agora basta que resolva a integral e correr para o abraço!

2 ∫ - 1 1 1 2 - cos ⁡ 2 π t 2 d t =

∫ - 1 1 1 - cos ⁡ 2 π t d t = t - sin ⁡ 2 π t 2 π - 1 1 = 2

Resposta

2

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