Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

Ver Teoria

Enunciado

1. Dado o sistema linear:

  1. Reescreva o sistema linear de forma a garantir sua convergência pelo método de Jacobi (diagonal estritamente dominante por linha).
  2. Escreva as expressões das sequências obtidas pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel (i.e., o motor gerador de cada incógnita) para o problema acima.
  3. Calcule duas iterações do método de Gauss-Seidel com vetor inicial x(0) = (0; 0; 0)T .

Passo 1

Oiii, pessoal! De boa? Mais uma provinha de cálculo numérico! Nesse primeiro exercício, lembraremos de alguns métodos iterativos para aproximar a solução de um sistema linear, o método de Jacobi e o método de Gauss Seidel!

Esses dois métodos partem de um vetor inicial, mas nem sempre eles irão convergir para uma solução, por mais que a gente faça um zilhãoooo de iterações! Uma das formas de garantir essa convergência é obtendo um sistema cuja matriz de coeficientes possui a diagonal estritamente dominante por linha.

Mas pera lá, o que é isso? Basicamente, o módulo do elemento de cada linha que fica na diagonal principal tem quer ser maior do que a soma dos módulos dos demais elementos da linha. Note que, na segunda linha do nosso sistema, | a 21 | = 0.75 ,   | a 22 | = 3   e   | a 23 | = 10 e o elemento da diagonal principal e o a 22 . Pra que essa linha satisfaça a condição de convergência, precisamos que | a 22 | > | a 21 | + | a 23 | . Mas | a 22 | < | a 21 | + | a 23 | , ou seja, essa linha não satisfaz a condição de convergência!

Uma forma de ajustar esse sistema para que ele satisfaça a condição de convergência, é mudar a ordem das linhas. Dá uma olhada:

Neste caso, | a 11 | > | a 12 | + | a 13 | , | a 22 | > | a 21 | + | a 23 | e | a 33 | > | a 31 | + | a 32 | ! Ou seja, os elementos da diagonal são maiores que a soma dos outros elementos de suas linhas. Logo, o sistema acima converge pele método de Jacobi, o que responde a letra A!

Passo 2

Já podemos então seguir para o enunciado da letra B! Para obter as expressões das sequências no método de Jacobi, devemos isolar a incógnita x 1 na linha 1, x 2 na linha 2 e x 3 na linha 3:

x 1 ( k + 1 ) = ( 2,8   +   x 2 ( k )   -   0,5   ⋅   x 3 ( k ) ) 3

x 2 ( k + 1 ) = ( 10   -   x 1 ( k )   -   2   ⋅   x 3 ( k ) ) 6

x 3 ( k + 1 ) = ( 6,9   -   0,75 ⋅ x 1 ( k )   -   3   ⋅   x 2 ( k ) ) 10

O k indica qual é o vetor solução que a incógnita pertence, em termos de iteração. Por exemplo, para k = 0 , a solução aproximada x ( 1 ) = [ x 1 1 ;   x 2 1 ;   x 3 1 ] depende dos valores do vetor inicial x ( 0 ) = [ x 1 0 ;   x 2 0 ;   x 3 0 ] . Isto é, o cálculo do novo vetor solução depende do vetor solução anterior! De boa, né, galera?

No método de Gauss Seidel, esta relação é um pouquinhoooo diferente. Agora, o cálculo do novo vetor solução vai depender de seus próprios valores! QUE? Como assim?

Bem galera, não é difícil! Concorda que para calcular x 1 , nós precisamos de x 2 e x 3 do vetor solução anterior? Beleza, eu também concordo! Mas para calcular x 2 nós podemos usar o valor de x 1 que acabamos de calcular (mas o x 3 tem que usar o da iteração anterior mesmo)! Da mesma forma, na hora de calcular x 3 , já vamos ter calculados x 2 e x 1 , então podemos usar esses valores mais atualizados da iteração atual. Com isso, nossas iterações são otimizadas :) Vamos obter algo assim:

x 1 ( k + 1 ) = ( 2,8   +   x 2 ( k )   -   0,5   ⋅   x 3 ( k ) ) 3

x 2 ( k + 1 ) = ( 10   -   x 1 ( k + 1 )   -   2   ⋅   x 3 ( k ) ) 6

x 3 ( k + 1 ) = ( 6,9   -   0,75 ⋅ x 1 ( k + 1 )   -   3   ⋅   x 2 ( k + 1 ) ) 10

Passo 3

Beleza, pessoal, a questão C pede duas iterações do método de Gauss Seidel. Ou seja, queremos obter os vetores x ( 1 ) = [ x 1 1 ;   x 2 1 ;   x 3 1 ] e x ( 2 ) = [ x 1 2 ;   x 2 2 ;   x 3 2 ] . Vamos nessa!

Lembrando que o valor inicial e x(0) = (0; 0; 0)T

Iteração 1:

x 1 ( 1 ) = ( 2,8   +   x 2 ( 0 )   -   0,5   ⋅   x 3 ( 0 ) ) 3 = ( 2,8   +   0   -   0,5   ⋅ 0 ) 3 = 0,9333

x 2 ( 1 ) = ( 10   -   x 1 ( 1 )   -   2   ⋅   x 3 ( 0 ) ) 6 = ( 10   -   0,9333   -   2   ⋅   0 ) 6 = 1,5111

x 3 ( 1 ) = ( 6,9   -   0,75 ⋅ x 1 ( 1 )   -   3   ⋅   x 2 ( 1 ) ) 10 = ( 6,9   -   0,75 ⋅ 0,9333   -   3   ⋅   1,5111 ) 10 = 0,1667

Iteração 2:

x 1 ( 2 ) = ( 2,8   +   x 2 ( 1 )   -   0,5   ⋅   x 3 ( 1 ) ) 3 = ( 2,8   +   1,5111   -   0,5   ⋅ 0,1667 ) 3 = 1,4092

x 2 ( 2 ) = ( 10   -   x 1 ( 2 )   -   2   ⋅   x 3 ( 1 ) ) 6 = ( 10   -   1,4092   -   2   ⋅   0,1667 ) 6 = 1,3762

x 3 ( 2 ) = ( 6,9   -   0,75 ⋅ x 1 ( 2 )   -   3   ⋅   x 2 ( 2 ) ) 10 = ( 6,9   -   0,75 ⋅ 1,4092   -   3   ⋅   1,3762 ) 10 = 0,1714

E é isso, pessoal! Moleza ;) Até a próxima!

Resposta

  1. Jacobi:
  2. x 1 ( k + 1 ) = ( 2,8   +   x 2 ( k )   -   0,5   ⋅   x 3 ( k ) ) 3

    x 2 ( k + 1 ) = ( 10   -   x 1 ( k )   -   2   ⋅   x 3 ( k ) ) 6

    x 3 ( k + 1 ) = ( 6,9   -   0,75 ⋅ x 1 ( k )   -   3   ⋅   x 2 ( k ) ) 10

    Gauss-Seidel:

    x 1 ( k + 1 ) = ( 2,8   +   x 2 ( k )   -   0,5   ⋅   x 3 ( k ) ) 3

    x 2 ( k + 1 ) = ( 10   -   x 1 ( k + 1 )   -   2   ⋅   x 3 ( k ) ) 6

    x 3 ( k + 1 ) = ( 6,9   -   0,75 ⋅ x 1 ( k + 1 )   -   3   ⋅   x 2 ( k + 1 ) ) 10

  3. x ( 1 ) = [ 0,9333 ;   1,5111 ;   0,1667 ] e x ( 2 ) = [ 1,4092 ;   1,3762 ;   0,1714 ] .

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada caso: verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito ;resolva por Gauss-Seidel , se possível: A = 4 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 4 ; b = 1 1 1 1
Usando o critério de Sassenfeld, verifique para que valores positivos de k se tem garantia de que o método de Gauss-Seidel vai gerar uma sequência convergente para a solução do sistema: k x 1 + 3 x 2
Considere o sistema linear: 1 2 1 2 3 1 3 5 2 x 1 x 2 x 3 = 3 5 1 Verifique, usando eliminação gaussiana que este sistema não tem solução. Qual será o comportamento usando Gauss Seidel?Através de um s
Em cada caso: verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito ;resolva por Gauss-Seidel , se possível: A = 10 1 1 1 10 1 1 1 10 ; b = 12 12 12
27. Prove que no método de Gauss-Seidel vale a relação: