Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

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Enunciado

4) u ,   v ,   w   e x são vetores do R 6 . Queremos determinar qual é o vetor y do espaço gerado por u , v   e w que se encontra mais próximo ao vetor x , na norma Euclidiana, o que nos leva a um problema de mínimos quadrados. Sabemos que os produtos escalares entre os vetores são:

u ⋅ v = 6 , u ⋅ w = 2 , v ⋅ w = 2 , x ⋅ u = 3 , x ⋅ v = 3 , x ⋅ w = 4

E que as normas ao quadrado de u ,   v e w são iguais a 8.

a) Ordene os vetores da base de forma conveniente para garantir que o método de Gauss-Seidel quando aplicado ao sistema resultante seja convergente.

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos primeiro determinar, pelo método dos mínimos quadrados, qual é o vetor y do espaço gerado por u ,   v e w que se encontra mais próximo do vetor x .

E depois vamos ordená-los de forma a garantir que o método de Gauss-Seidel, quando aplicado ao sistema, seja convergente. Pra isso vamos usar o critério de Sassenfeld:

- Considerando um sistema linear A x = b . Se:

β i = 1 a i i ∑ j = 1 i - 1 a i j β j + ∑ j = i + 1 n a i j < 1 , para todo i = 1 , … , n .

Então o método de Gauss-Seidel converge.

Passo 2

Como queremos um vetor y do espaço gerado por u , v , w , então podemos escrever y como combinação linear dos três:

  y = a u + b v + c w

Foram dados toooodos os produtos internos (que maravilha) desses vetores combinados, então só precisamos montar o problema de mínimos quadrados:

u , u u , v u , w   v , u v , v v , w w , u w , v w , w   a b c = x , u x , v x , w

8 6 2   6 8 2 2 2 8   a b c = 3 3 4

Ficamos com o sistema:

8 a + 6 b + 2 c = 3 6 a + 8 b + 2 c = 3 2 a + 2 b + 8 c = 4

Verificando o critério de Sassenfeld:

- Para β 1 :

β 1 = 1 8 6 + 2 = 1

Como não é menor que 1, então não converge.

Passo 3

Vamos mudar a ordem dos vetores... E se colocássemos o w na frente?

y = a w + b u + c v

Daí temos:

w , w w , u w , v   u , w u , u u , v v , w v , u v , v   a b c = x , w x , u x , v

8 2 2   2 8 6 2 6 8   a b c = 4 3 3

Ficamos com o sistema:

8 a + 2 b + 2 c = 4 2 a + 8 b + 6 c = 3 2 a + 6 b + 8 c = 3

Verificando o critério de Sassenfeld:

- Para β 1 :

β 1 = 1 8 2 + 2 = 0,5

- Para β 2 :

β 2 = 1 8 2 β 1 + 6

= 1 8 2 0,5 + 6 = 0,875

- Para β 3 :

β 3 = 1 8 2 β 1 + 6 β 2

= 1 8 2 0,5 + 6 0,875 = 0 , 78125

Como todos são menores que 1, então o critério de Sassenfeld é satisfeito.

Daí a ordem dos vetores será:

y = a w + b u + c v

Resolvendo o sistema, pra achar a , b e c :

y = 11 26 w + 2 13 u + 2 13 v

Resposta

y = 11 26 w + 2 13 u + 2 13 v

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Em cada caso: verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito ;resolva por Gauss-Seidel , se possível: A = 10 1 1 1 10 1 1 1 10 ; b = 12 12 12
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