Enunciado

Calcule a integral

int_0^1 (3 + x sqrt(x)) d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte ntegral:

int_0^1 (3 + x sqrt(x)) d x

Então... Temos uma integral definida e sabemos que, pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (u) d u = F (b) - F (a)

Em que F ' = f .

Também devemos saber que, pela propriedade 3:

int_a^b c f (u) d u = c int_a^b f (u) d u

Onde c é qualquer constante.

Lembre-se também que a primitiva F (x) de f (x) = x^n , onde n é um inteiro, é dada por:

F (x) = (x^(n + 1))/(n + 1)

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

Antes de resolvermos a integral, vamos brincar um pouco com a álgebra:

int_0^1 (3 + x sqrt(x)) d x = int_0^1 (3 + sqrt(x^2 * x)) d x :.

int_0^1 (3 + x sqrt(x)) d x = int_0^1 (3 + sqrt(x^3)) d x :.

int_0^1 (3 + x sqrt(x)) d x = int_0^1 (3 + x^((3)/(2))) d x

Sabemos que a integral de uma soma pode ser entendida como a soma de integrais da seguinte forma:

int_0^1 (3 + x^((3)/(2))) d x = int_0^1 (3) d x + int_0^1 (x^((3)/(2))) d x

Agora vamos lá!! 😉

Passo 3

Agora é so a gente integrar aplicando os conceitos do Teorema Fundamental do Cálcuo que vimos no Passo 1:

int_0^1 (3 + x sqrt(x)) d x = int_0^1 (3 + x^((3)/(2))) d x :.

int_0^1 (3 + x sqrt(x)) d x = int_0^1 (3) d x + int_0^1 (x^((3)/(2))) d x :.

int_0^1 (3 + x sqrt(x)) d x = [3 x + (x^((3)/(2) + 1))/((3)/(2) + 1)]_0^1 :.

int_0^1 (3 + x sqrt(x)) d x = [3 x + (x^((5)/(2)))/((5)/(2))]_0^1 :.

int_0^1 (3 + x sqrt(x)) d x = [3 x + (2 x^((5)/(2)))/(5)]_0^1 :.

int_0^1 (3 + x sqrt(x)) d x = [3 (1) + (2)/(5) (1)^((2)/(5))] - [3 (0) + (2)/(5) (0)^((2)/(5))] :.

int_0^1 (3 + x sqrt(x)) d x = 3 + (2)/(5) :.

int_0^1 (3 + x sqrt(x)) d x = (17)/(5)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

int_0^1 (3 + x sqrt(x)) d x = (17)/(5)

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