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Exercícios Resolvidos de Caso Não Linear

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Enunciado

Aproxime a tabela abaixo por uma função do tipo g x = 1 + a e b x usando quadrados mínimos. Encontre o erro da aproximação.

Passo 1

Nossa aproximação será

y ≈ φ t = 1 + c 1 e c 2 t

y - 1 ≈ φ t - 1 = c 1 e c 2 t

Linearizando:

z = ln ⁡ y - 1 ≈ ln ⁡ φ t - 1 = ln ⁡ c 1 ⏟ a 1 + c 2 ⏟ a 2 t = a 1 + a 2 t

ϕ t = a 1 + a 2 t

A tabela linearizada fica assim:

E temos que h 1 t = 1 e h 2 t = t .

Temos então os vetores:

h 1 ¯ = 1,1 , 1,1 , 1

h 2 ¯ = 0,0.5,1.0,2.5,3.0

f ¯ = 0,0.47,0.99,2.5,3

Passo 2

Agora montamos a matriz A :

A = h 1 ¯ , h 1 ¯ h 1 ¯ , h 2 ¯ h 2 ¯ , h 1 ¯ h 2 ¯ , h 2 ¯ = 5 7 7 16.5

E o vetor b :

b = f ¯ , h 1 ¯ f ¯ , h 2 ¯ = 6.96 16.475

Resolvendo o sistema:

5 7 7 16.5 a 1 a 2 = 6.96 16.475

a 1 = - 0.014

a 2 = 1.005

Voltando as variáveis:

a 1 = ln ⁡ c 1 ⇒ c 1 = 0.9861

a 2 = c 2 = 1.005

Logo:

φ x = 1 + 0.9861 e 1.005 x

Passo 3

Agora para encontrarmos o erro, também conhecido como o resíduo, basta calcularmos:

∑ k = 1 m f x k - φ x k 2 = 0.01357

Resposta

φ x = 1 + 0.9861 e 1.005 x

Erro: 0.01357

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