Exercícios Resolvidos de Caso Não Linear

UNICAMP – Lista 6 – Questão 9 Adaptada

Verifique que as funções não lineares a seguir podem ser linearizadas por transformações matemáticas. Explicite a relação entre a função original e a linearizada.

a   f x = 5 a 1 x + a 2

b   f x = 1 + a 1 x 2 + a 2

c f x = ln ⁡ a 1 + a 2 x 2

Passo 1

a

y = 5 a 1 x + a 2

z = 1 y = a 1 x + a 2 5 = a 1 5 x + a 2 5

Então a função linearizada é a seguinte:

z = c 1 x + c 2

Com relações:

z = 1 y

c 1 = a 1 5

c 2 = a 2 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b

y = 1 + a 1 x 2 + a 2

z = 1 y - 1 = x 2 + a 2 a 1 = x 2 a 1 + a 2 a 1

A função linearizada é:

z = c 1 x 2 + c 2

Podemos ainda fazer a mudança de variáveis w = x 2 obtendo z = c 1 + c 2 w , apesar de podermos resolver o problema sem essa mudança.

Com relações:

z = 1 y - 1

w = x 2

c 1 = 1 a 1

c 2 = a 2 a 1

Passo 3

c

y = ln ⁡ a 1 + a 2 x 2

z = e y = a 1 + a 2 x 2

A função linearizada é:

z = c 1 + c 2 x 2

Novamente podemos fazer a mudança de variáveis w = x 2 obtendo z = c 1 + c 2 w .

Com relações:

z = e y

w = x 2

c 1 = a 1

c 2 = a 2

Resposta

a z = c 1 x + c 2

z = 1 y ; c 1 = a 1 5 ; c 2 = a 2 5

b z = c 1 + c 2 w

z = 1 y - 1 ; w = x 2 ; c 1 = 1 a 1 ; c 2 = a 2 a 1

c z = c 1 + c 2 w

z = e y ; w = x 2 ; c 1 = a 1 ; c 2 = a 2

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