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Exercícios Resolvidos de Caso Não Linear

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Enunciado

Considere a tabela

Por qual das funções x t = t a t + b ou y t = a b t você aproximaria a função u t ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Lembra do teste que eu comentei pra ver se escolhemos a família certa de funções? O teste do alinhamento! Primeiro vamos linearizar ambas as funções:

x t = t a t + b

z 1 t = 1 u t ≈ 1 x t = a t + b t = a + b t

s = 1 t ⇒ z 1 t = a + b s

Isso nos dá a tabela abaixo:

Repare que usando essa função como aproximação esbarramos com um problema! Nossa linearização não está definida em t = 0 . Como se não bastasse isso, se jogarmos os pontos em um diagrama de dispersão vamos ficar com isso aqui:

Nada a ver com uma reta essa porcaria né?

Passo 2

A outra aproximação fica:

y t = a b t

z 2 t = ln ⁡ u t ≈ ln ⁡ y t = ln ⁡ a ⏟ c 1 + t ln ⁡ b ⏟ c 2 = c 1 + c 2 t

O que nos dá a tabela abaixo

E o diagrama de dispersão dessa tabela nos dá:

Po, não vou dizer que está uma reta perfeitinha, mas está infinitamente melhor que o outro haha. E aqui a gente não tem o problema da indeterminação em um ponto! Logo, a melhor função para aproximar a u t é y t = a b t .

Resposta

y t = a b t aproxima melhor a função u t pelo teste do alinhamento. Além disso, a linearização de x t possui uma indeterminação em um dos pontos tabelados.

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