Exercícios Resolvidos de Círculo de Mohr

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Enunciado

Dado o elemento infinitesimal abaixo, determine o valor mínimo da tensão cisalhante em função da tensão no eixo x para que não ocorra rompimento do material que possui tensão admissível de 50Mpa para tensões normais.

Passo 1

Como já vimos queremos determinar alguns valores com base no círculo de mohr, e para fazermos isso precismos desenhar o círculo de Mohr.

Sabemos que para fazer esse desenho necessitamos de dois pontos:

O primeiro é o ponto que marca o centro do círculo que é dado por

( σ m e d , 0 ) = σ x + σ y 2 , 0

O segundo é o ponto que marca o fim do raio do círculo de mohr, que é dado por

( σ x , τ )

Passo 2

Como já temos os valores para desenhar o círculo de mohr, vamos fazer os devidos desenhos e dessa forma começar a definir os valores pedidos no enunciado.

Sabemos que

σ x = b

σ y = 4 b

τ x y = a

Substituindo teremos que

b + 4 b 2 , 0 = ( 2,5 b , 0 )

( b , a )

Passo 3

Desenhando o círculo de Mohr teremos que

Olhando o nosso triangulo teremos que

Fazendo pitagora teresmo que

a 2 + ( 1,5 b ) 2 = R 2

As nossas tensões principais são dadas por

σ 1 = σ m e d + R

σ 2 = σ m e d - R

Em que

σ m e d = 2,5 b

R = a 2 + ( 1,5 b ) 2

E nesse caso como queremos saber o limite do rompimento, usaremos σ 1 = σ a d m = 50

Substituindo tudo teremos que

σ 1 = σ m e d + R

50 = 2,5 b + a 2 + ( 1,5 b ) 2

Isolando a raiz, teremos que

50 - 2,5 b = a 2 + ( 1,5 b ) 2

Elevando os valores de ambos os lados ao quadrado teremos que

2500 - 250 b + 6,25 b 2 = a 2 + ( 1,5 b ) 2

2500 - 250 b + 6,25 b 2 = a 2 + 2,25 b 2

Isolando cada letra de um lado teremos que

- 250 b + 6,25 b 2 - 2,25 b 2 = a 2 - 2500

- 250 b + 6,25 b 2 - 2,25 b 2 = a 2 - 2500

4 b 2 - 250 b + 2500 = a 2

a = 4 b 2 - 250 b + 2500

Podemos simplificar essa solução escrevendo a solução como

a = 2 b - 50 2 - 50 b

Resposta

a = 2 b - 50 2 - 50 b

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