Exercícios Resolvidos de Círculo de Mohr

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Enunciado

O elemento infinitesimal abaixo foi rotacionado de 30° no sentido horário. Usando o círculo de Mohr, determine quais serão as tensões nesse plano a 30°.

Passo 1

Como já vimos queremos determinar alguns valores com base no círculo de mohr, e para fazermos isso precisamos desenhar o círculo de Mohr.

Sabemos que para fazer esse desenho necessitamos de dois pontos:

O primeiro é o ponto que marca o centro do círculo que é dado por

( σ m e d , 0 ) = σ x + σ y 2 , 0

O segundo é o ponto que marca o fim do raio do círculo de mohr, que é dado por

( σ x , τ )

Passo 2

Como já temos os valores para desenhar o círculo de mohr, vamos fazer os devidos desenhos e dessa forma começar a definir os valores pedidos no enunciado.

Sabemos que

σ x = - 130   M P a

σ y = + 180 M P a

τ x y = + 40 M P a

Substituindo teremos que

- 130 + 180 2 , 0 = ( 25 , 0 )

( - 130   ,   40 )

Desenhando o círculo de mohr

Primeiro desenhamos o raio

Depois desenhamos o círculo de mohr

Passo 3

Agora que já temos o círculo de mohr precisamos lembrar como ele funciona quando fazemos a rotação do nosso elemento infinitesimal.

O primeiro conceito que temos que lembrar é que todo sentido que rotacionamos o nosso elemento é o contrario no círculo de mohr, por exemplo, se rotacionamos nosso elemento no sentido horário, no círculo de mohr faremos esse giro no sentido anti-horário.

Outra coisa que precisamos saber é que no círculo de mohr o número de graus que andaremos será o dobro do numero de graus que andamos no elemento, ou seja, no nosso caso andamos 30°, logo no círculo de mohr teremos que andar 60°.

Juntando os dois conceitos teremos que rotacionar, a partir do raio que desenhamos o círculo de mohr, 60° no sentido anti-horário. Na imagem abaixo podemos ver bem como devemos fazer isso.

Outra coisa que precisamos notar são os dois triângulos da nossa figura, um triangulo para os valores iniciais e outro para os valores finais, que podemos ver abaixo

Sabemos que podemos determinar algumas coisas relacionadas aos triângulos,

Começando pelo triangulo roxo sabemos que podemos determinar o valor dos catetos, como vemos na figura

Se temos os valores dos catetos, podemos determinar facilmente o valor da hipotenusa pelo teorema de Pitágoras, lembrando que a hipotenusa do nosso triangulo simboliza exatamente o raio do nosso círculo de mohr.

40 2 + 155 2 = R 2

R = 160,1

Como já temos os valores dos catetos e da hipotenusa podemos também determinar o valor de α , com isso teremos que

40 160,1 = S e n   α

α = a r c   S e n   0,25 = 14,5 °

Mas porque calculamos esse ângulo? Veremos no próximo passo que ele nos ajudará nos cálculos do próximo triangulo, então vamos lá.

Passo 4

Como já analisamos o que tínhamos no triangulo roxo, vamos ver agora o que conseguimos determinar no triangulo verde.

Dessas incógnitas sabemos que a hipotenusa desse triangulo também é o raio do nosso círculo, que já determinamos no passo anterior

R = 160,1

Para determinarmos o valor de β basta olharmos o seguinte

Com isso podemos ver que

α + β = 60 °

Como já temos o valor de α fica fácil determinarmos o valor de β

14,5 + β = 60 °

β = 45,5   °

Olhando o nosso triangulo teremos que usar relações trigonométricas para encontrarmos os valores desejados

Sabemos que

y 160,1 = S e n   45,5 °

y = 160,1   .   S e n 45,5 ° = 114,2

x 160,1 = C o s   45,5 °

x = 160,1   .   C o s   45,5 ° = 112,2

Agora que já temos os valores vamos determinar o que eles representam no nosso círculo de mohr

Pelo círculo de mohr teremos que

σ x = 25 - 11 2 , 2 = - 8 7 , 2   M p a

τ x y = - 11 4 , 2   M p a

Para determinarmos a tensão normal em y basta analisarmos o prolongamento do raio

σ y = 25 + 11 2 , 2 = 13 7 , 2   M p a

Resposta

σ x = - 8 7 , 2   M p a

τ x y = - 11 4 , 2   M p a

σ y = 13 7 , 2   M p a

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