Exercícios Resolvidos de Círculo de Mohr

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Enunciado

Para o estado de tensão mostrado na figura, determine, usando Círculo de Mohr, a tensão normal e a tensão de cisalhamento atuantes no plano A B .

Passo 1

O que está acontendo?

O exercício nos forneceu um estado plano de tensões, para o qual podemos definir eixos x e y :

Fazendo isso, conseguimos definir as tensões:

σ x = - 100   M P a

σ y = - 50   M P a

&

τ x y = 28   M P a

E o que é que o exercício quer?

Basicamente, ele quer que a gente faça uma transformação de tensões.

Ele quer que a gente rotacione o elemento por um ângulo θ = + 30 ° :

Ao fazemos isso, as novas tensões σ x ' e τ x ' y ' que vão surgir vão corresponder (ser iguais) às tensões normal σ e cisalhante τ no plano A B , que é o que o exercício quer saber.

O exercício ainda quer que a gente resolve ele usando o Círculo de Mohr.

Então para resolver o exercício...

Devemos usar as tensões σ x = - 100   M P a , σ y = - 50   M P a & τ x y = 28   M P a para desenhar um círculo de Mohr para esse elemento.

Feito isso, vamos rotacionar a reta do círculo de Mohr que diz as tensões no nosso eixo x ( σ x e τ x y ) por um ângulo 2 θ , definindo assim as tensões num eixo x ' ( σ x ' e τ x ' y ' ).

Em seguida, vamos usar trigonometria (seno, cosseno, etc.) para decifrar os valores de σ x ' e τ x ' y ' .

Por fim, esses valores vão corresponder às tensões σ e τ no plano A B pedidas pelo exercício, sendo assim as nossas respostas para o exercício.

Passo 2

Então vamos começar desenhando o nosso círculo de Mohr!

Lembra aí!

Já definimos as σ x = - 100   M P a , σ y = - 50   M P a & τ x y = 28   M P a , então o próximo passo para desenhar o círculo de Mohr é calcular o valor de σ m é d :

σ m é d = σ x + σ y 2 = - 100 + ( - 50 ) 2 = - 150 2 = - 75   M P a

Agora, podemos desenhar os eixos τ e σ :

E marcar nele os pontos:

  • σ m é d , 0 = ( - 75,0 ) ;
  • & σ x , τ x y = ( - 100,28 ) .

Marcados esses pontos, ligamos ele com uma reta e desenhamos o nosso círculo:

Passo 3

Agora, vamos rotacionar a reta do nosso círculo de Mohr usando um ângulo 2 θ = + 60 ° .

Aqui, devemos nos lembrar que:

  • Enquanto que o ângulo θ no estado de tensões é positivo no sentido anti-horário;
  • O ângulo 2 θ no círculo de Mohr é positivo no sentido horário.

(Isso só não ocorre caso a gente opte por desenhar desde o começo o gráfico do Círculo de Mohr com o eixo τ apontando para baixo.)

Se lembrando disso, percebemos que essa rotação 2 θ = + 60 ° vai ser então uma rotação de 60 ° no sentido horário:

Aí, enquanto que a reta antiga definia as tensões antigas ( σ x e τ x y ) no eixo x , a reta nova vai definir as tensões novas ( σ x ' e τ x ' y ' ) no eixo rotacionado x ' :

Passo 4

Definidas as tensões σ x ' e τ x ' y ' no gráfico, precisamos agora usar trigonometria para encontra-las.

Para tanto, vamos focar no desenho abaixo, montado a partir dos dados do círculo de Mohr acima:

Primeiro, fazendo Pitágoras no triângulo esquerdo, temos:

R 2 = 28 2 + 25 2

O que significa que:

R = 28 2 + 25 2 = 37,54   M P a

Além disso, podemos ver que a tangente do ângulo α é:

tg ⁡ α = 28 25 = 1,12

Aí, colocando esse valor na função a r c t g da nossa calculadora, encontramos que:

α = 48,24 °

Em seguida, podemos perceber que:

α + β + 60 ° = 180 °

Aí, isolando β e substituindo α = 48,24 ° , encontramos que:

β = 180 ° - 60 ° - α = 120 ° - ( 48,24 ° ) = 71 , 76 °

Agora, podemos usar seno de β para encontrarmos o valor de τ x ' y ' :

sen ⁡ β = τ x ' y ' R

Isolando τ x ' y ' e substituindo β = 71 , 76 ° e R = 37,54   M P a , encontramos que:

τ x ' y ' = R sen ⁡ β = 37,54 sen ⁡ 71 , 76 °

Calculando, isso dá:

τ x ' y ' ≅ 35,7   M P a

Além disso, ainda podemos usar o cosseno de β para encontrarmos o valor de ( 75 - σ x ' ) :

cos ⁡ β = ( 75 - σ x ' ) R

Aí, isolando ( 75 - σ x ' ) e substituindo β = 71 , 76 ° e R = 37,54   M P a , encontramos:

( 75 - σ x ' ) = R cos ⁡ β = 37,54 cos ⁡ 71 , 76 °

O que dá:

( 75 - σ x ' ) ≅ 11,7   M P a

Em seguida, isolando σ x ' , encontramos que:

σ x ' = 75   M P a - 11,7   M P a ≅ 63,3   M P a

E por fim, como no gráfico σ x ' é negativo, isso significa que:

σ x ' ≅ - 63,3   M P a

E pronto!

Nosso exercício está resolvido, e, para fornecermos a nossa resposta, basta fazermos a correspondência das tensões encontradas para o eixo x ' com as tensões no plano A B :

Resposta

σ A B = - 63,3   M P a

&

τ A B = 35,7   M P a

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