Exercícios Resolvidos de Círculo de Mohr

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 349-9.72. (Adaptado)

Utilizando o círculo de Mohr, determine ( a ) as tensões principais e ( b ) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

Passo 1

O que está acontecendo?

O exercício nos forneceu pela imagem um estado plano de tensões onde:

  • Não existe tensão normal na horizontal, de tal forma que:

σ x = 0

  • Existe na vertical uma tração de 50   M P a , de tal forma que:

σ y = 50   M P a

  • E existe uma tensão de cisalhamento de 30   M P a , mas que está no sentido oposto de sua convenção usual, de tal forma que:

τ x y = - 30   M P a

E o que é que ele quer?

Ele quer que a gente use o círculo de Mohr para determinar:

( a ) as tensões principais σ 1 e σ 2 e suas orientações θ p 1 e θ p 2 ;

& ( b ) a tensão de cisalhamento máxima no plano τ m á x , a tensão normal média σ m é d que acompanha essa tensão de cisalhamento máxima e as orientações θ τ m á x que causam essas tensões.

Então, para resolver esse exercício, vamos:

1. Calcular σ m é d = ( σ x + σ y ) / 2 e utilizar esse ponto e o ponto ( σ x , τ x y ) para desenhar o Círculo de Mohr para esse estado de tensões.

2. Usar o teorema de Pitágoras para encontrar o raio R do círculo de Mohr e, em seguida, calcular as tensões principais σ 1,2 = σ m é d ± R nele.

3. Usar seno, cosseno ou tangente no círculo de Mohr e a função a r c s e n , a r c c o s ou a r c t g na calculadora para descobrir o valor dos ângulos θ p 1 e θ p 2 .

4. Aplicar τ m á x = R e aproveitar o valor já calculado de σ m é d para definir as tensões pedidas pelo item ( b ) .

& 5. Aproveitar o ângulo encontrado no terceiro passo para estudar os ângulos no círculo de Mohr e reconhecer os ângulos θ τ m á x que levam o elemento à orientação em que a tensão de cisalhamento é máxima.

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Passo 2

Então vamos lá!

Como já definimos no passo anterior as tensões σ x , σ y e τ x y no nosso estado plano de tensões, já podemos agora calcular σ m é d :

σ m é d = σ x + σ y 2 = 0 + 50 2 = 25   M P a

Desenhar os eixos τ e σ :

E em seguida marcar entre esses eixos os pontos:

  • σ m é d , 0 = ( 25 ,   0 ) ;
  • & σ x , τ x y = ( 0 , - 30 ) ,

...para depois ligar esses pontos e usá-los para desenhar nosso círculo:

E pronto!

Nosso círculo de Mohr está desenhado.

Agora, devemos usar ele para determinar o que foi pedido pelo exercício.

Passo 3

Primeiro, para descobrirmos as tensões principais usando o círculo de Mohr, precisamos calcular o raio do círculo.

Para tanto, podemos olhar para o desenho do círculo um pouco acima e utilizar o teorema de Pitágoras:

R 2 = 30 2 + 25 2

Calculando R , encontramos que:

R = 30 2 + 25 2 = 39,1   M P a

Com isso, podemos calcular as nossas tensões principais σ 1 e σ 2 :

σ 1 = σ m é d + R

&

σ 2 = σ m é d - R

Substituindo σ m é d = 25   M P a e R = 39,1   M P a , encontramos que:

σ 1 = 64,1   M P a

&

σ 2 = - 14,1   M P a

Passo 4

Agora, vamos observar no nosso círculo de Mohr os ângulos 2 θ p que fazem essas tensões principais aparecerem:

Sendo que aqui, precisamos nos lembrar que:

  • Lá no estado de tensões, um ângulo θ é positivo no sentido anti-horário;
  • Então, como desenhamos no nosso círculo de Mohr o eixo τ apontando para cima, os ângulos 2 θ no círculo vão ser positivos no sentido horário.

Assim, concluímos que 2 θ p 21 é um ângulo negativo, por estar no sentido anti-horário no círculo de Mohr, enquanto que 2 θ p 2 é um ângulo positivo.

Tendo isso em mente, podemos calcular o valor desses ângulos.

Uma forma de fazer isso é vendo que:

tg 2 θ p 2 = 30 25 = 1,2

Aí, usando a função a r c t g da nossa calculadora, e se lembrando de verificar se a calculadora está fornecendo resultados em graus, encontramos que:

2 θ p 2 = 50,2 °

O que significa que:

θ p 2 = 25,1 °

E aí agora, nós sabemos que quando conhecemos um ângulo θ p (nesse caso θ p 2 = 25,1 ° ), o outro (nesse caso θ p 1 ) pode ser encontrado adicionando ou subtraindo 90 ° do primeiro.

Dessa forma, temos que:

θ p 1 = 25,1 ° - 90 °

O que dá:

θ p 1 = - 64,9 °

E assim terminamos o item a !

Passo 5

Agora, para resolver o item ( b ) , nós podemos aproveitar o que calculamos para o item ( a ) .

Sabemos que a tensão de cisalhamento máxima τ m á x no plano é sempre igual ao raio R do círculo de Mohr, então temos que:

τ m á x = R

E lá no passo 3, calculamos que R = 39,1   M P a , então:

τ m á x = 39,1   M P a

Além disso, sabemos que quando a tensão de cisalhamento no plano é máxima, as tensões normais assumem o valor médio σ m é d , que já calculamos no passo 2 como:

σ m é d = 25   M P a

E assim, em alguns segundos, encontramos as tensões pedidas pelo item ( b ) .

Passo 6

Mas ainda precisamos encontrar as orientações θ τ m á x do elemento que fazem aparecer essas tensões de cisalhamento máximas e normais médias do item ( b ) .

Para tanto, vamos olhar para os possíveis ângulos 2 θ τ m á x no círculo de Mohr que causam essas tensões:

A primeira opção, 2 θ τ m á x , está no sentido horário no círculo de Mohr e é portanto positiva (seria negativa caso tivéssemos usado desde o começo um eixo τ apontando para baixo).

Olhando para o círculo, ainda vemos que ela é 90 ° maior que o ângulo 2 θ p 2 = 50,2 ° .

Então, temos que:

2 θ τ m á x = 50,2 ° + 90 °

Realizando essa soma e dividindo por 2, encontramos que:

θ τ m á x = 70,1 °

Já a segunda opção, 2 θ τ m á x ' :

  • é negativa;
  • & é 90 ° “maior” que o ângulo 2 θ p 1

E no passo passo 4, encontramos que θ p 1 = - 64,9 ° , o que significa que 2 θ p 1 = 2 - 64,9 ° = - 129,8 ° .

Ou seja:

2 θ τ m á x ' = - 129,8 ° + 90 ° = - 39,8 °

Finalmente, dividindo isso por 2, temos:

θ τ m á x ' = - 19,9 °

Ou seja, o ângulo θ τ m á x que podemos usar para rotacionar o nosso elemento e fazer aparecer a tensão de cisalhamento τ m á x pode ser um ângulo de 70,1 ° ou um ângulo de - 19,9 ° .

E assim finalizamos o nosso exercício!

Resposta

a     σ 1 = 64,1   M P a ;     σ 2 = - 14,1   M P a ;     θ p 1 = - 64,9 ° ;     θ p 2 = 25,1 ° .

b     τ m á x = 39,1   M P a ;     σ m é d = 25   M P a ;     θ τ m á x = 70,1 °   ou - 19,9 ° .

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