Exercícios Resolvidos de Círculo de Mohr

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Enunciado

O elemento infinitesimal abaixo foi rotacionado de 57° no sentido anti-horário. Usando o círculo de Mohr, determine quais serão as tensões nesse plano a 57°.

Passo 1

Como já vimos queremos determinar alguns valores com base no círculo de mohr, e para fazermos isso precisamos desenhar o círculo de Mohr.

Sabemos que para fazer esse desenho necessitamos de dois pontos:

O primeiro é o ponto que marca o centro do círculo que é dado por

( σ m e d , 0 ) = σ x + σ y 2 , 0

O segundo é o ponto que marca o fim do raio do círculo de mohr, que é dado por

( σ x , τ )

Passo 2

Como já temos os valores para desenhar o círculo de mohr, vamos fazer os devidos desenhos e dessa forma começar a definir os valores pedidos no enunciado.

Sabemos que

σ x = + 21 0   M P a

σ y = + 25 0 M P a

τ x y = + 30 0 M P a

Substituindo teremos que

210 + 25 0 2 , 0 = ( 230   ,   0 )

( 210   ,   300 )

Desenhando o círculo de mohr

Primeiro desenhamos o raio

Depois desenhamos o círculo de mohr

Passo 3

Agora que já temos o círculo de mohr precisamos lembrar como ele funciona quando fazemos a rotação do nosso elemento infinitesimal.

O primeiro conceito que temos que lembrar é que todo sentido que rotacionamos o nosso elemento é o contrario no círculo de mohr, por exemplo, se rotacionamos nosso elemento no sentido horário, no círculo de mohr faremos esse giro no sentido anti-horário e vice versa.

Outra coisa que precisamos saber é que no círculo de mohr o número de graus que andaremos será o dobro do número de graus que andamos no elemento, ou seja, no nosso caso andamos 57°, logo no círculo de mohr teremos que andar 114°.

Juntando os dois conceitos teremos que rotacionar, a partir do raio que desenhamos o círculo de mohr, 114° no sentido horário. Na imagem abaixo podemos ver bem como devemos fazer isso.

Outra coisa que precisamos notar são os dois triângulos da nossa figura, um triangulo para os valores iniciais e outro para os valores finais, que podemos ver abaixo

Sabemos que podemos determinar algumas coisas relacionadas aos triângulos,

Começando pelo triangulo amarelo sabemos que podemos determinar o valor dos catetos, como vemos na figura

Se temos os valores dos catetos, podemos determinar facilmente o valor da hipotenusa pelo teorema de Pitágoras, lembrando que a hipotenusa do nosso triangulo simboliza exatamente o raio do nosso círculo de mohr.

300 2 + 20 2 = R 2

R = 300,7

Como já temos os valores dos catetos e da hipotenusa podemos também determinar o valor de α , com isso teremos que

300 300,7 = S e n   α

α = a r c   S e n   0,9977 = 86,1 °

Mas porque calculamos esse ângulo? Veremos no próximo passo que ele nos ajudará nos cálculos do próximo triangulo, então vamos lá.

Passo 4

Como já analisamos o que tínhamos no triangulo amarelo, vamos ver agora o que conseguimos determinar no triangulo azul.

Dessas incógnitas sabemos que a hipotenusa desse triangulo também é o raio do nosso círculo, que já determinamos no passo anterior

R = 300,7

Para determinarmos o valor de β basta olharmos o seguinte

Com isso podemos ver que

β = 20,1 °

Olhando o nosso triangulo teremos que usar relações trigonométricas para encontrarmos os valores desejados

Sabemos que

y 300,7 = S e n   20,1 °

y = 300,7   .   S e n 20,1 ° = 103,3

x 300,7 = C o s   20,1 °

x = 300,7   .   C o s   20,1 ° = 282,4

Agora que já temos os valores vamos determinar o que eles representam no nosso círculo de mohr

Pelo círculo de mohr teremos que

σ x = 230 + 282,4 = 512,4   M p a

τ x y = - 103,3   M p a

Para determinarmos a tensão normal em y basta analisarmos o prolongamento do raio

σ y = 230 - 282,4 = - 52,4   M p a

Como deu negativo significa que nosso círculo de mohr deveria ser mais para a esquerda como mostra figura

Resposta

σ x = 512,4   M p a

τ x y = - 103,3   M p a

σ y = - 52,4   M p a

Exercícios de Livros Relacionados

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Resolva o Problema 7.18 usando o círculo de Mohr.
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Para o estado de tensão indicado, determine a tensão de cisalhamento máxima quando (a) τ y z = 120,7M P a , (b) τ y z = 55,2M P a e (c) τ y z = 0 .