Exercícios Resolvidos de Colunas com cargas excêntricas

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Enunciado

A coluna W 200 × 22 de aço estrutural A - 36 está engastada no topo e na base. Se suportar os momentos M = 7,5   k N . m nas extremidades, determine a força axial P que pode ser aplicada. Ocorre flexão em torno do eixo x - x . Use as equações A I S C da seção 13.6 e a equação 13.30.

Passo 1

Fala aí, pessoal!! Este problema pede para fazermos uma verificação de falhas da coluna através do método da tensão admissível (que é a equação 13.30 a qual o problema se refere) e tem o seguinte formato:

P A + M c I ≤ σ a d m

O problema pede para fazermos a análise tanto do momento quanto da força compressiva, então a gente vai montar o probleminha todo e lá no final vamos fazer essa análise tudo junto, beleza?

Para calcular essa tensão admissível σ a d m nós vamos utilizar a tabela de equações A I S C :

Então vamos calcular o índice de esbeltez, aplicar a equação correspondente e achar σ a d m . Depois é só substituir na primeira equação e vamos ver se a coluna falha ou não =D

Passo 2

Vamos começar calculando o índice de esbeltez da coluna

K L r

Como a coluna está engastada na base e no topo temos que K = 0,5 , a altura da coluna é L = 4,8   m , agora falta achar o raio de giração r , que pode ser achado através da relação entre o momento de inércia e a área.

I = A . r 2

O momento de inércia é o do perfil W 200 × 22 , lembrando que para calcular o raio de giração precisamos do menor momento de inérica. Assim temos que

I = 1,42.10 - 6   m 4

E a área

A = 2860   m m 2 = 2,86.10 - 3   m 2

Sendo assim vamos ter o raio de giração

r = I A

r = 1,42.10 - 6 2,86.10 - 3

r = 0,0223   m

Logo, podemos calcular o valor do índice de esbeltez:

K L r = 0,5 × 4,8 0,0223 = 107,62

E o índice de esbeltez comparativo. Esse valor é inerente ao material, não dependendo da geometria da coluna:

K L r c = 2 π 2 E σ e

Aqui a gente tem que olhar nas tabelas para o aço A - 36 e achar:

E = 200   G P a

σ e = 250   M P a

K L r c = 2 π 2 ( 200.10 9 ) 250.10 6

K L r c = 125,66

Show! Agora temos os dois valores e podemos utilizar a tabela para fazer a comparação e saber qual equação utilizar.

Passo 3

A tabela é a seguinte.

Como a gente já calculou os dois índices de esbeltez, basta comparar os termos e vamos ter:

107,62 < 125,66

Logo,

K L r < K L r c

Ou seja, vamos utilizar a segunda equação para o cálculo da tensão admissível.

σ a d m = 1 F S   .     1 - K L r 2 2 K L r c 2 σ e

É claro que temos que calcular F S antes, logo:

F S = 5 3 + 3 8 K L / r K L / r c - 1 8 K L / r 3 K L / r 3 c  

Assim, vamos ter:

F S = 5 3 + 3 8 107,62 ( 125,66 ) - 1 8 107,62 3 125,66 3  

F S = 1,667 + 0,3212 - 0,0785  

F S = 1,91

Agora podemos calcular o valor da tensão admissível

σ a d m = 1 1,91   .     1 - 107,62 2 2 ( 125,66 ) 2 250

Logo, vamos obter

σ a d m = 82,89   M P a

Passo 4

Agora podemos aplicar a equação do método da tensão admissível.

P A + M c I ≤ σ a d m

Para a tensão de flexão vamos precisar do momento de inércia I e da distância c . O próprio problema nos diz que a flexão ocorre em torno do eixo x x logo, tirando da tabela de perfis de abas largas para o perfil W 200 × 22 :

I x x = 20.10 - 6   m 4

E o valor de c é a metade da altura d (na tabela a altura é d mesmo! kkk)

c = d 2 = 206 2 = 103   m m

O resto dos valores nós já temos então vamos substituir na equação

P A + M c I ≤ σ a d m

Utilizando os dados em m m ,   N e M P a vamos ter:

P 2860 + ( 7,5.10 6 ) ( 103 ) 20.10 6 = 82,89

3,5.10 - 4 P + 38,63 = 82,89

Se lembram que a gente tinha que analisar pelo momento e pela força? Então, olha como o momento impõe uma tensão de 38,63   M P a , que é menor do que a admissível de 82,89   M P a . Sendo assim, podemos calcular a força P que vai valer:

P = 126,46   k N

Resposta

A coluna resiste ao momento aplicado e ainda suporta uma carga compressiva de:

P = 126,46   k N

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