Exercícios Resolvidos de Colunas com cargas excêntricas

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Enunciado

Uma coluna de aço engastada na base e livre no topo sofre um carregamento P = 10   k N deslocado de e = 12,5   m m do eixo central como mostrado na figura. Determine se essa coluna é segura com base no método da interação. Dados: E a ç o = 200   G P a . Tensões admissíveis σ e = 250   M P a ; σ f l e x ã o = 160   M P a .

Passo 1

Como podemos ver o problema está falando sobre flambagem no caso de uma carga excêntrica e pede para verificarmos se a carga P = 10   k N aplicada à coluna está acima ou abaixo do limite permitido, o problema pede para que façamos essa análise com base no método da interação.

Com isso a gente pode verificar alguns pontos:

  • A seção transversal é um quadrado e, portanto, tem o mesmo momento de inércia para ambos os eixos. Sendo assim não precisamos nos preocupar com o eixo onde ocorre a flambagem.
  • I x = I y

  • Nós temos de utilizar a tabela experimental para colunas de aço dado abaixo, sendo assim precisamos achar o valor do índice de esbeltez para saber qual equação utilizar.
  • Utilizando a equação correta da tensão admissível

Passo 2

Vamos começar calculando o índice de esbeltez da coluna

K L r

Como a coluna está engastada na base e livre no topo temos que K = 2 , a altura da coluna é L = 1   m , agora falta achar o raio de giração r , que pode ser achado através da relação entre o momento de inércia e a área.

I = A . r 2

O momento de inércia do nosso quadrado é

I = 1 12 0,050 4

I = 5,21.10 - 7   m 4

E a área

A = 0,050 × 0,050 = 2,5.10 - 3   m 3

Sendo assim vamos ter o raio de giração

r = 5,21.10 - 7 2,5.10 - 3

r = 0,0144   m

Logo, podemos calcular o valor do índice de esbeltez:

K L r = 2 × 1 0,0144 = 139

E o índice de esbeltez comparativo. Esse valor é inerente ao material, não dependendo da geometria da coluna:

K L r c = 2 π 2 E σ e

K L r c = 2 π 2 ( 200.10 9 ) 250.10 6

K L r c = 125,66

Show! Agora temos os dois valores e podemos utilizar a tabela para fazer a comparação e saber qual equação utilizar.

Passo 3

A tabela é a seguinte.

Como a gente já calculou os dois índices de esbeltez, basta comparar os termos e vamos ter:

125,66 < 139 < 200

Logo,

K L r c < K L r < 200

Ou seja, vamos utilizar a primeira equação para o cálculo da tensão admissível.

σ a d m = 1 F S   .     π 2 E K L / r 2

σ a d m = 12 23   .     π 2 ( 200.10 9 ) 139 2

Logo, vamos obter

σ a d m   ( c e n t r a d a ) = 53,3   M P a

Passo 4

Agora podemos aplicar a equação da interação:

Aqui nós não temos nem o momento nem o valor de c , então vamos calcular o momento a partir do valor da força excêntrica da forma

M = P . e

Como e = 12,5   m m e P = 10   k N

M = 0,0125 × 10.10 3 = 125   N . m

O valor de c é igual a maior distância da linha neutra até a superfície da peça. Olhando a seção transversal nós vamos ter

Sendo assim

c = 0,025   m

O resto dos valores nós já temos então vamos substituir na equação

P / A σ a d m   ( c e n t r a d a ) + M . c / I σ a d m   ( f l e x ã o ) ≤ 1

( 10.10 4 / 2,5.10 - 3 )   53,3 . 10 6 + ( 125 × 0,025 ) / ( 5,21.10 - 7 ) 160.10 6 ≤ 1

0,750 + 0,037 ≤ 1

0,787 ≤ 1

Então por enquanto está tudo certinho!

Passo 5

A gente só precisa fazer uma última verificação. Isso acontece porque algumas normas dizem que esse método da interação só pode ser utilizado quando:

σ c e n t r a d o σ a d m   ( c e n t r a d o ) < 0,15

Substituindo

( 10.10 4 / 2,5.10 - 3 )   53,3.10 6 = 0,75 > 0,15

Agora deu ruim! Então veja como isso é importante, utilizando essa norma a coluna até passa no teste. Mas a grande questão é que esse norma não pode ser utilizada nesse caso devido à elevada carga centrada!

Resposta

Apesar da coluna passar no teste do método da integração, este método não pode ser utilizado devido à elevada carga centrada.

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