Exercícios Resolvidos de Colunas com cargas excêntricas

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Enunciado

Uma coluna de 6   m de comprimento é feita de liga de alumínio 2014 - T 6 . Se tiver presa por pinos no topo e na base e uma carga de compressão P for aplicada no ponto A , determine o valor permissível máximo de P pelas equações da Seção 13.6 e pela equação 13.30.

Passo 1

Fala aí, pessoal!! Este problema pede para fazermos uma verificação de falhas da coluna através do método da tensão admissível (que é a equação 13.30 a qual o problema se refere) e tem o seguinte formato:

P A + M c I ≤ σ a d m

Para calcular essa tensão admissível σ a d m nós vamos utilizar a tabela de equações para ligas de alumínio, que é dada pela A l u m i n u m   A s s o c i a t i o n :

Então vamos calcular o índice de esbeltez, aplicar a equação correspondente e achar σ a d m . Depois é só substituir na primeira equação e vamos ver se a coluna falha ou não =D

Passo 2

Para iniciar essa questão nós vamos calcular o momento de inércia da seção transversal, sua área e raio de giração:

Como nós temos três barras retangulares então vamos ter:

I x = 2 I 1 + A d 2 + I 2

I x = 2 × 0,200 0,010 3 12 + 0,200 0,010 0,105 2 + 0,010 0,200 3 12

I x = 5,08.10 - 5   m 4

I y = 0,200 3 0,010 12 + 0,010 3 ( 0,200 ) 12 + 0,200 3 0,010 12

I y = 1,335.10 - 5   m 4

Agora podemos ir calculando o índice de esbeltez da coluna

K L r

Como a coluna está presa por pinos no topo e na base temos que K = 1 , a altura da coluna é L = 6,0   m , agora falta achar o raio de giração r , que pode ser achado através da relação entre o momento de inércia e a área.

I = A . r 2

A área é igual a:

A = 3 × 0,200 × 0,010 = 6.10 - 3   m 2

Sendo assim vamos calcular o raio de giração com base no menor momento de inércia:

r = I A

r = 1,335.10 - 5   6.10 - 3

r = 0,0472   m

Logo, podemos calcular o valor do índice de esbeltez:

K L r = 1 × 6 0,0472 = 127,2

Passo 3

Utilizando esse valor para achar a equação correta da tabela vamos ter:

55 ≤ K L r

Logo vamos utilizar a equação:

σ a d m = 378125 K L / r 2   M P a

σ a d m = 378.125 127,2 2   M P a

σ a d m = 23,37   M P a

Passo 4

Agora podemos aplicar a equação do método da tensão admissível.

P A + M c I ≤ σ a d m

Para a tensão de flexão vamos precisar do momento de inércia I e da distância c . Então a gente precisa lembrar que a flexão ocorre no eixo x . Dessa forma vamos ter:

c = 0,220 2 = 0,110   m

I x = 5,08.10 - 5   m 4

O resto dos valores nós já temos então vamos substituir na equação

P A + M c I ≤ σ a d m

Utilizando os dados em m m ,   N e M P a vamos ter:

P 6000 + ( P × 105 ) ( 110 ) 50,8.10 6 = 23,37

1,67.10 - 4 + 2,27.10 - 4 P = 23,37

P = 59,36   k N

Resposta

P = 59,36   k N

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