Exercícios Resolvidos de Colunas com cargas excêntricas

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Enunciado

A coluna de alumínio 2014 - T 6 com perfil W 150 × 29,8 está sob uma carga de 10   k N aplicada de modo excêntrico conforme a figura. Sabendo que essa coluna está engastada na base e livre no topo, verifique se a coluna resiste à carga aplicada segundo o método da tensão admissível.

Passo 1

Pessoal, esse exercício é quase igual ao anterior. A única diferença é que agora a gente vai saber se essa coluna vai resistir ou não, ao invés de só calcular as tensões que atuam nela.

Então se você já viu o exercício anterior e entendeu pode pular para os passos 2,3 e4. Se você não viu o exercício anterior não tem problema, é só acompanhar todos os passos =D

Vamos lembrar que:

  • Tensão axial – Essa tensão é fornecida pela equação da carga centrada (aquela da tabela).
  • Tensão de flexão – Essa tensão é calculada pela equação

σ f l e x ã o = M c I

Passo 2

A gente acabou de ver que vamos ter duas tensões, correto? A axial e a de flexão. Vamos ver como isso funciona um pouco melhor fazendo a transformação de uma força excêntrica em uma força centrada mais um momento:

A gente precisa só saber qual o valor desse momento, não é mesmo? Ele vai ser dado pela força vezes a distância e .

M = 10.10 3 × 0,250

M = 2500   N . m

Pessoal! A força vertical será a responsável pela tensão axial enquanto o momento pela tensão de flexão!

Passo 3

Para achar a tensão axial é só pegar a carga centrada e dividir pela área:

σ a x i a l = F A

A força vale 10   k N e a área é tabelada para o perfil W 150 × 29,8 :

A = 3,790.10 - 3   m 2

Substituindo a gente vai ter:

σ a x i a l = 10.10 3 3,790.10 - 3  

σ a x i a l = 2,64   M P a

Passo 4

Mas não existe apenas o componente axial, correto? Temos que calcular o componente axial também! Essa componente é dada por:

σ f l e x ã o = M . c I

O momento a gente já calculou lá no passo 2 e vale:

M = 2500   N . m

A tensão vai ocorrer no eixo em torno do eixo x então temos que ter o momento de inércia em relação à esse eixo:

I = 17,23.10 - 6   m 4

Falta só o valor de c , para isso a gente precisa olhar o perfil da nossa coluna W 150 × 29,8 :

No caso desse tipo de perfil a gente vai ter quase sempre que c é metade da altura d . Para esse perfil temos que:

d = 157   m m

Assim,

c = 157 2 = 78,5   m m = 0,0785   m

Agora basta substituir na equação da tensão de flexão:

σ f l e x ã o = 2500 × 0,0785 17,23.10 - 6

σ f l e x ã o = 11,39   M P a

Passo 5

Beleza, galera a gente já achou as tensões que atuam na coluna:

σ a x i a l = 2,64   M P a

σ f l e x ã o = 11,39   M P a

Agora vamos ver se a coluna aguenta essas tensões!!

Para qualquer dos métodos que podemos utilizar a primeira coisa que temos de fazer é calcular o índice de esbeltez. Tal índice é calculado a partir do comprimento L , fator de comprimento efetivo K e o raio de giração r :

K L r

Pessoal, o comprimento já foi dado e vale L = 2   m , como a coluna está engastada na base e livre no topo temos que K = 2 e o raio de giração é obtido a partir da seguinte equação entre o momento de inércia e a área:

I = A . r 2

Como estamos tratando com um perfil W 150 × 29,8 vamos ter que:

I x x = 17,23.10 - 6   m 4

I y y = 5,54.10 - 6   m 4

A = 3,790.10 - 3   m 2

Pessoal, lembrem-se que a gente precisa sempre utilizar o menor raio de giração!! Então temos que utilizar o menor momento de inércia para esse cálculo:

I = 5,54.10 - 6   m 4

Substituindo na equação para achar o valor do raio de giração:

I = A . r 2

5,54.10 - 6 = 3,790.10 - 3 . r 2

r = 5,54.10 - 6 3,790.10 - 3

r = 0,0382   m

Agora podemos achar o valor do índice de eslbetez!

K L r = 2.2 0,0382 = 104,62

Passo 6

Galera, a gente já ta no final da resolução desse exercício. Agora vamos calcular a tensão admissível, para isso vamos utilizar a tabela para o alumínio 2014 - T 6 que é a seguinte:

Observe que o valor do índice de esbeltez é maior do que 55:

K L r = 104,62 > 55

Logo vamos ter que utilizar a terceira equação:

σ a d m   = 378,125 K L / r 2   M P a

Aí é só substituir né pessoal!

σ a d m = 378,125 104,62 = 3,61   M P a

Para esse método a gente precisa achar a tensão máxima σ m á x e comprar acom a tensão admissível σ a d m . A tensão máxima é dada pela soma da axial com a de flexão:

σ m á x = σ a x i a l + σ f l e x ã o

σ m á x = 2,64 + 11,39 = 14,03   M P a

Observe que está bem acima do limite da tensão admissível

σ a d m = 3,61   M P a

Portanto essa coluna não irá resistir ao esforça da força!!!

Resposta

σ m á x = 14,03   M P a > σ a d m = 3,61   M P a

Observe que está bem acima do limite da tensão admissível

Portanto essa coluna não irá resistir ao esforça da força!!!

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