Exercícios Resolvidos de Colunas com cargas excêntricas

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Enunciado

A coluna W 310 × 67 de aço estrutural A - 36 suporta uma carga axial de 400   k N além de uma carga excêntrica P = 300   k N . Determine se a coluna falhará com base nas equações A I S C da seção 13.6 e a equação 13.30. Considere que a coluna está engastada na base e que seu topo está livre para oscilar no plano x - z enquanto preso por pinos no plano y - z .

Passo 1

Fala aí, pessoal!! Este problema pede para verificarmos se a coluna falhará devido aos carregamentos nela exercidos. Para isso a gente tem que lembrar que a coluna pode falhar por flambagem ou por escoamento devido à compressão.

Mas antes da gente sair resolvendo que tal lembrar das equações as quais o problema se referiu? São elas:

  • Equações A I S C da seção 13.6: são aquelas empíricas para diversos tipos de materiais e índices de esbeltez. Como nós temos uma coluna de aço então essas equações vão ser as seguintes.
  • Já a equação 13.30 é a equação quando utilizamos o método da tensão admissível e é dada por.

P A + M c I ≤ σ a d m

Então para resolver esse problema a gente vai calcular o índice de esbeltez para saber qual equação da tabela utilizar para o σ a d m . Com isso vamos substituir nessa última equação acima e finalmente ver se a coluna aguenta ou não o carregamento.

Passo 2

Vamos começar calculando o índice de esbeltez da coluna

K L r

Como a coluna está engastada na base e livre no topo temos que K = 2 , a altura da coluna é L = 3,6   m , agora falta achar o raio de giração r , que pode ser achado através da relação entre o momento de inércia e a área.

I = A . r 2

O momento de inércia é o do perfil W 310 × 67 , lembrando que para calcular o raio de giração precisamos do menor momento de inérica. Assim temos que

I = 20,7.10 - 6   m 4

E a área

A = 8530   m m 2 = 8,53.10 - 3   m 2

Sendo assim vamos ter o raio de giração

r = I A

r = 20,7.10 - 6 8,53.10 - 3

r = 0,0493   m

Logo, podemos calcular o valor do índice de esbeltez:

K L r = 2 × 3,6 0,0493 = 146,16

E o índice de esbeltez comparativo. Esse valor é inerente ao material, não dependendo da geometria da coluna:

K L r c = 2 π 2 E σ e

Aqui a gente tem que olhar nas tabelas para o aço A - 36 e achar:

E = 200   G P a

σ e = 250   M P a

K L r c = 2 π 2 ( 200.10 9 ) 250.10 6

K L r c = 125,66

Show! Agora temos os dois valores e podemos utilizar a tabela para fazer a comparação e saber qual equação utilizar.

Passo 3

A tabela é a seguinte.

Como a gente já calculou os dois índices de esbeltez, basta comparar os termos e vamos ter:

125,66 ≤ 146,16 ≤ 200

Logo,

K L r c ≤ K L r ≤ 200

Dessa forma nós vamos utilizar a primeira equação para o cálculo da tensão admissível.

σ a d m = 1 F S   .     π 2 E K L / r 2

Onde F S é dado por:

F S = 23 12  

Assim, vamos ter:

σ a d m = 12 23   .     π 2 E K L / r 2

Agora podemos calcular o valor da tensão admissível

σ a d m = 12 23   .     π 2 ( 200.10 9 ) 146,16 2

Logo, vamos obter

σ a d m   ( c e n t r a d a ) = 48,21   M P a

Passo 4

Agora podemos aplicar a equação do método da tensão admissível.

P A + M c I ≤ σ a d m

Para a tensão de flexão vamos precisar do momento de inércia I e da distância c . Porém aqui nós temos de perceber que a flexão ocorre em torno do eixo x x . Logo, tirando da tabela de perfis de abas largas para o perfil W 310 × 67 :

I x x = 145.10 - 6   m 4

E o valor de c é a metade da altura d (na tabela a altura é d mesmo! kkk)

c = d 2 = 306 2 = 153   m m

O resto dos valores nós já temos então vamos substituir na equação

P A + M c I ≤ σ a d m

Aí aqui só pra lembrar que a força compressiva P vale:

P = 400 k N + 300 k N

E o momento:

M = 300 k N × 250   m m

M = 0,250 × 300.10 3   N m

( 400.10 3 + 300.10 3 ) 8,53.10 - 3 + ( 0,250 × 300.10 3 ) ( 0,153 ) 145.10 - 6 ≤ 48,21   M P a

82,06   M P a + 0,079   M P a ≤ 48,21   M P a

F A L S O ‼ !

Vejam que chegamos num absurdo, logo a coluna não suporta esse carregamento e falhará por flambagem!

Resposta

82,06   M P a + 0,079   M P a ≤ 48,21   M P a

F A L S O ‼ !

Vejam que chegamos num absurdo, logo a coluna não suporta esse carregamento e falhará por flambagem!

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