Exercícios Resolvidos de Colunas com cargas excêntricas

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Enunciado

Determine a carga excêntrica máxima admissível P que pode ser aplicada à coluna de madeira engastada na base e livre no topo. Utilize o método da tensão máxima admissível e a seguinte tabela como base.

Passo 1

Faala, galerinha! Agora a gente pode ver que o problema nos traz uma força ecêntrica com relação à dois eixos. Desta forma a gente vai ter duas tensões de flexão, ok?

Então para resolver esse problema a gente vai:

  1. Dividir a força excêntrica em uma força centrada mais dois momentos.
  2. Calcular as respectivas tensões (uma axial e duas de flexão).
  3. Calcular a tensão admissível.
  4. Comparar o valor da tensão máxima com a tensão admissível.

Passo 2

Vamos fazer um desenho então para ver como a nova força e os momentos vão ficar:

Vamos achar o valor de cada momento fazendo:

M x = P . e y

M y = P . e x

Então vamos ter:

M x = P . 0,050

M y = P . 0,025

Pessoal! A força vertical será a responsável pela tensão axial enquanto os momentos pelas tensões de flexão!

Passo 3

Para achar a tensão axial é só pegar a carga centrada e dividir pela área:

σ a x i a l = P A

Calculando a área:

A = 0,050 ×   0,025 = 1,25.10 - 3   m 2

Substituindo a gente vai ter:

σ a x i a l = P 1,25 . 10 - 3  

Como a gente não tem o valor de P então vamos deixar assim =D

Passo 4

As componentes de flexão vão ser dadas por:

σ f l e x ã o ( x ) = M x . c y I y

σ f l e x ã o ( y ) = M y . c x I x

Calculando a tensão de flexão no eixo x a gente vai ter:

σ f l e x ã o ( x ) = M x . c y I y

A gente já tem o momento em x :

M x = 0,050 P

Podemos calcular o momento de inércia em y :

I y = 1 12 0,100 0,050 3 = 1,04.10 - 6   m 4

E o valor de c y

c y = 100 2   m m = 50   m m

substituindo vamos achar:

σ f l e x ã o ( x ) = 0,050 P . 0,050 1,04.10 - 6

σ f l e x ã o   ( x ) = 2403,8 × P

Passo 5

Agora vamos calcular o valor da a flexão em y :

σ f l e x ã o ( y ) = M y . c x I x

A gente já tem o momento em y :

M y = 0,0 2 5 P

Podemos calcular o momento de inércia em x :

I x = 1 12 0,05 0 0,10 0 3 = 4,167 . 10 - 5   m 4

E o valor de c y

c y = 50 2   m m = 25   m m

substituindo vamos achar:

σ f l e x ã o ( y ) = 0,025 P . 0,025 4,167 . 10 - 5

σ f l e x ã o   ( y ) = 15 P

Passo 6

Beleza, galera a gente já achou as tensões que atuam na coluna:

σ a x i a l = P 1,25.10 - 3  

σ f l e x ã o   ( x ) = 2403,8 × P

σ f l e x ã o   ( y ) = 15 P

Agora vamos ver se a coluna aguenta essas tensões!!

Para qualquer dos métodos que podemos utilizar a primeira coisa que temos de fazer é calcular o índice de esbeltez. Tal índice é calculado a partir do comprimento L , fator de comprimento efetivo K e o raio de giração r :

K L r

Pessoal, o comprimento já foi dado e vale L = 1 , 2   m , como a coluna está engastada na base e livre no topo temos que K = 2 e o raio de giração é obtido a partir da seguinte equação entre o momento de inércia e a área:

I = A . r 2

A gente já calculou ambos os momentos de inércia, a gente só precisa lembrar que temos de utilizar o menor de forma a obter o menor valor para o raio de giração.

I x = 4,167.10 - 5   m 4

I y = 1,04.10 - 6   m 4

A = 1,25.10 - 3   m 2

Para ter o menor raio de giração vamos ter que utilizar:

I = 1,04.10 - 6     m 4

Substituindo na equação para achar o valor do raio de giração:

I = A . r 2

1,04.10 - 6 = 1,25.10 - 3 . r 2

r = 1,04 . 10 - 6 1,25.10 - 3

r = 0,0288   m

Agora podemos achar o valor do índice de eslbetez!

K L r = 1,2 × 2 0,0288 = 83,2

Passo 7

Galera, a gente já ta no final da resolução desse exercício. Agora vamos calcular a tensão admissível, para isso vamos utilizar a tabela para a madeira que foi até dada no problema mas é a seguinte:

Observe que o valor do índice de esbeltez é maior do que 55:

K L r = 83,2 > 55

Logo vamos ter que utilizar a terceira equação:

σ a d m   = 378,125 K L / r 2   M P a

Aí é só substituir né pessoal!

σ a d m = 378,125 83,2 = 4,54   M P a

Para esse método a gente precisa achar a tensão máxima σ m á x e comprar acom a tensão admissível σ a d m . A tensão máxima é dada pela soma da axial com a de flexão:

σ m á x = σ a x i a l + σ f l e x ã o ( x ) + σ f l e x ã o ( y )

σ m á x = P 1,25.10 - 3   + 2403,8 × P + 15 P

Passo 8

A última coisa a ser feita agora é igualar σ m á x à σ a d m .

P 1,25.10 - 3   + 2403,8 × P + 15 P = 4,54.10 6

3218,8 P = 4,54.10 6

P = 4,54.10 6 3218,8

P = 1,41   k N

Resposta

O maior valor da força P que pode ser aplicada à coluna é de

P = 1,41   k N

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