Enunciado

Considere a curva C parametrizada por r → t = cos 3 ⁡ t ,   s e n 3 t para 0 ≤ t ≤ π 4 .

a) Mostre que r → não é uma parametrização pelo comprimento de arco.

b) Reparametrize a curva C pelo comprimento de arco.

Passo 1

a) Cara para ver se uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco não tem mistério: tem que ver se o vetor tangente é unitário para todo t . Em termos matemáticos, devemos ver se:

r → ' t = 1

Passo 2

Para ver a igualdade do passo anterior, precisamos obter o vetor tangente. Para isso, basta derivar a parametrização, ou seja

r → ' t = d d t cos 3 ⁡ t , s e n 3 t = d d t cos 3 ⁡ t , d d t s e n 3 t = ( - 3 cos 2 ⁡ t s e n t , 3 s e n 2 t cos ⁡ t )

Passo 3

Agora, precisamos obter a norma desse vetor. Como fazemos isso? Raiz quadrada da soma das componentes ao quadrado! Falei grego? É só elevar geral ao quadrado, somar e tirar a raiz xD

Vem comigo...

r → ' t = - 3 cos 2 ⁡ t s e n t 2 + 3 s e n 2 t cos ⁡ t 2

r → ' t = 9 cos 4 ⁡ t s e n 2 t + 9 s e n 4 t cos 2 ⁡ t

r → ' t = 9 cos 2 ⁡ t s e n 2 t cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 9 cos 2 ⁡ t s e n 2 t = 3 cos ⁡ t s e n t

Passo 4

Agora precisamos ver se 3 cos ⁡ t s e n t vale 1 para todo t . Agora o jeito é ver que em t = π 4 , essa expressão vale:

3 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 = 3 2 ≠ 1

Logo, não é parametrização pelo comprimento de arco, pois achamos um valor de t onde o vetor não é unitário.

Passo 5

Para reparametrizarmos pelo comprimento de arco, precisamos da função s ( t ) que é calculada por

s t = ∫ t 0 t ‖ r → ' h ‖ d h

Lembrando que t 0 pode ser qualquer valor no domínio da curva que no nosso caso é 0 ≤ t ≤ π 4 . Pra facilitar as contas vou usar t 0 = 0 .

Passo 6

Então pelo que já calculamos na letra a, temos que

s t = ∫ 0 t 3 cos ⁡ h s e n h d h

Agora para calcular essa integral devemos usar uma substituição do tipo

u = s e n h → d u = cos ⁡ h d h

Fazendo a integral indefinida temos que

∫ 3 cos ⁡ h s e n h d h = ∫ 3 u d u = 3 2 u 2  

Voltando pra variável do problema, temos que

∫ 3 cos ⁡ h s e n h d h = 3 2 s e n 2 h

Passo 7

Colocando os limites de integração temos que

s t = 3 2 s e n 2 h t 0 = 0 t = 3 2 s e n 2 t

Agora precisamos inverter a função s ( t ) , ou seja, obter a função t ( s ) . Para isso, basta isolarmos t !

s = 3 2 s e n 2 t → s e n t = 2 s 3 → t = arcsen ⁡ 2 s 3

Passo 8

Para finalizar e tirar aquele 10zão, falta pegar a expressão de s t e substituir no lugar do t na parametrização. Em termos matemáticos a gente vai fazer a composição da função s t com a nossa parametrização, ou seja

r → ∘ s t = cos 3 ⁡ arcsen ⁡ 2 s 3 , s e n 3 arcsen ⁡ 2 s 3

Resposta

a) Não está parametrizada pelo comprimento de arco

b) r → ∘ s t = cos 3 ⁡ arcsen ⁡ 2 s 3 , s e n 3 arcsen ⁡ 2 s 3

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