Enunciado

Encontre o comprimento da curva r → t = 2 t i ^ + 2 t j ^ + 1 - t 2 k ^ de ( 0,0 , 1 ) a ( 2,2 , 0 ) .

Passo 1

Beleza, nossa curva r → t já está parametrizada. Vamos lembrar da fórmula para o comprimento de uma curva como essa, que vai de um ponto a até b :

L = ∫ a b r ' → ( t ) d t

Tudo bem, o primeiro passo é derivar a curva r → t para calcular o r ' → t .

r ' → t = d d t r → t

Lembre-se de que, para derivar um vetor, é só derivar cada uma das componentes:

Começamos com a derivada da componente i ^ (sempre em relação a t ):

d d t 2 t = 2

Na componente j ^ :

d d t 2 t = 2

E na k ^ :

d d t 1 - t 2 = - 2 t

E agora é só juntar tudo:

r ' → t = ( 2 ) i ^ + ( 2 ) j ^ - ( 2 t ) k ^

Passo 2

Olhando de novo para a fórmula que colocamos lá em cima, vemos que agora precisamos calcular a norma dessa derivada. Lembra como se calcula a norma de um vetor?

( a , b , c ) = a 2 + b 2 + c 2

É só seguir esse procedimento para o caso do r ' → t , aí vamos achar o seguinte:

r ' → ( t ) = 2 2 + 2 2 + - 2 t 2 = 4 + 4 + 4 t 2 = 8 + 4 t 2

Vamos colocar o 4 em evidência dentro da raiz:

r ' → ( t ) = 4 ( 2 + t 2 ) = 4 2 + t 2

E então:

r ' → ( t ) = 2 2 + t 2

Beleza, já temos quase tudo para resolver a integral.

Passo 3

O último passo é descobrir quem são os pontos a e b (que são os valores inicial e final de t , respectivamente).

Bom, a gente sabe que a curva começa no ponto ( 0,0 , 1 ) . Qual é o valor de t nesse ponto?

r → t = 2 t , 2 t , 1 - t 2 = ( 0,0 , 1 )

Escrevemos o vetor na forma de parênteses, ao invés de usar os i ^ , j ^ , k ^ , porque fica mais fácil de entender.

Bom, isso é um sistema bem tranquilo de resolver. Temos duas equações distintas:

2 t = 0 1 - t 2 = 1

E a primeira equação já dá a resposta, porque só aceita uma solução:

t = 0

E esse vai ser o ponto inicial da nossa integral, a = 0 . Agora vamos ver o ponto final!

A gente sabe que a curva termina no ponto ( 2,2 , 0 ) , vamos fazer o mesmo esquema de antes:

2 t , 2 t , 1 - t 2 = ( 2,2 , 0 )

2 t = 2 1 - t 2 = 0

Mais uma vez, a primeira equação já dá resposta, porque só aceita uma solução:

t = 1

E esse vai ser nosso ponto final! b = 1 .

Passo 4

Agora já temos tudo pra resolver a integral, é só substituir:

∫ a b r ' → ( t ) d t

∫ 0 1 2 2 + t 2 d t

Essa não é uma integral tão fácil, vamos precisar de um método especial para resolvê-la: substituição trigonométrica. Isso quer dizer que vamos substituir t por alguma função trigonométrica que seja útil!

Por exemplo, se fizermos:

t = 2 t a n ⁡ ( θ )

O d t da integral vai ficar assim:

d t d θ = 2 sec 2 ⁡ ( θ ) ⇒ d t = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Quando colocarmos tudo isso na integral:

L = ∫ 2 2 + 2 tan 2 ⁡ ( θ ) 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Vamos tirar o 2 de dentro da primeira raiz:

L = 2 2 ∫ 1 + tan 2 ⁡ ( θ ) 2 sec 2 ⁡ θ d θ

E agora usamos aquela identidade trigonométrica 1 + tan 2 ⁡ ( θ ) = s e c ⁡ ( θ ) :

L = 4 ∫ se c 3 ⁡ θ d θ

E agora temos que resolver essa integral. (Omitimos os limites de integração de propósito para simplificar a conta, podemos coloca-los de volta depois)

Passo 5

Então beleza, estamos focando na integral indefinida:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Essa não é uma integral muito fácil, mas é bastante comum. Vamos usar integração por partes!

∫ u   d v = u v - ∫ v d u

Se fizermos d v = sec 2 ⁡ ( θ ) , u = sec ⁡ ( θ ) :

v = ∫ sec 2 ⁡ ( θ ) = t a n ⁡ ( θ )

d u = sec ⁡ θ tan ⁡ ( θ )

Já que a derivada da secante é “secante vezes tangente”, e a derivada da tangente é “secante ao quadrado”.

Jogando isso na fórmula:

∫ sec 3 ⁡ ( θ )     d θ = s e c ⁡ ( θ ) . tan ⁡ ( θ ) - ∫ tan ⁡ θ . sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

∫ sec 3 ⁡ ( θ )     d θ = s e c ⁡ ( θ ) . tan ⁡ ( θ ) - ∫ tan 2 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Lembra que tan 2 ⁡ ( θ ) = sec 2 ⁡ ( θ ) - 1 ? Vamos usar isso:

∫ sec 3 ⁡ ( θ )     d θ = s e c ⁡ ( θ ) . tan ⁡ ( θ ) - ∫ sec 2 ⁡ ( θ ) - 1 sec ⁡ θ d θ

∫ sec 3 ⁡ ( θ )     d θ = s e c ⁡ ( θ ) . tan ⁡ ( θ ) - ∫ sec 3 ⁡ θ - s e c ⁡ ( θ ) d θ

E agora podemos separar aquela integral em duas:

∫ sec 3 ⁡ ( θ )     d θ = s e c ⁡ ( θ ) . tan ⁡ ( θ ) - ∫ sec 3 ⁡ θ d θ + ∫ s e c ⁡ ( θ d θ

Agora vamos juntar as duas integrais de sec 3 ⁡ ( θ ) !

2 ∫ sec 3 ⁡ ( θ )     d θ = s e c ⁡ ( θ ) . tan ⁡ ( θ ) + ∫ s e c ⁡ ( θ d θ

E nós sabemos que a integral da secante é l n ⁡ | sec ⁡ θ + t a n ⁡ ( θ ) | , então:

∫ sec 3 ⁡ ( θ )     d θ = s e c ⁡ ( θ ) . tan ⁡ ( θ ) + l n ⁡ | sec ⁡ θ + t a n ⁡ ( θ ) | 2

Beleza, agora temos a fórmula que precisávamos!

Passo 6

Então nosso objetivo de resolver essa integral fica mais simples:

L = 4 ∫ se c 3 ⁡ θ d θ = 2 s e c ⁡ ( θ ) . tan ⁡ ( θ ) + l n ⁡ | sec ⁡ θ + t a n ⁡ ( θ ) |

Só precisamos saber quais são os limites de integração! Antes tínhamos t indo de 0 até 1 , e nossa definição do t era:

t = 2 t a n ⁡ ( θ )

Lembrando também que tan ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1 :

Vamos ver se isso já é suficiente para achar a secante e a tangente nos dois valores de t .

Quando t = 0 :

0 = 2 tan ⁡ θ 1 ⇒ tan ⁡ θ 1 = 0

0 = sec 2 ⁡ θ 1 - 1 ⇒   sec ⁡ ( θ 1 ) = ± 1

Quanto t = 1 :

1 = 2 tan ⁡ θ 2 ⇒ tan ⁡ θ 2 = 1 / 2

1 2 = sec 2 ⁡ θ - 1     ⇒   sec 2 ⁡ ( θ 1 ) = 3 2 ⇒ sec ⁡ θ 2 = ± 3 2

Substituindo isso tudo na nossa fórmula:

L = 2 ± 3 2 ) . 1 2 + ln ⁡ ± 3 2 + 1 2 -   2 ± 1 . 0 + l n ⁡ | ± 1 + 0 |

Como ln ⁡ 1 = 0

L = 2 ± 3 2 ) . 1 2 + ln ⁡ ± 3 2 + 1 2

L = 2 ± 3 2 + ln ⁡ 1 ± 3 2

Como o comprimento de arco precisa ser positivo, deduzimos que podemos eliminar - 3 . Então:

L = 3 + 2 ln ⁡ 1 + 3 2 ≅ 3,049

Resposta

A curva tem comprimento igual a 3 + 2 ln ⁡ 1 + 3 2 u.c.

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