Considere a curva

α t = t 2 2 , 4 t 3 3 ,   2 t   , t > 0

Andando sobre a curva a partir do ponto 1 2 , 4 3 , 2 ao longo de um arco de comprimento igual a 8 , chegaremos ao ponto:

  1. 3 ,   2 3 ,   2
  2. 2 , 8 2 3 ,   4
  3. 49 2 , 28 7 3 ,   14
  4. 9 2 ,   4 3 ,   6
  5. Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Falou de comprimento de arco, vamos jogar na fórmula de comprimento de arco.

L = ∫ t 1 t 2 α ' ( t ) d t

Beleza, agora o que que a questão nos dá?

Bom, ela nos dá:

• O comprimento do arco: L = 8

• O ponto inicial do arco: P 1 = 1 2 , 4 3 , 2

A partir desse ponto inicial, a gente consegue igualar as componentes às compotentes da curva e encontrar o t 1 . Show!

E agora o que que a gente pede pra gente?

• O ponto final do arco.

Com todas as infos que temos, vamos jogar tudo na fórmula do comprimento do arco e nossa incógnita será o t 2 . Daí quando encontrarmos o t 2 , poderemos substituir na parametrização da curva e encontramos o tal do ponto final do arco que queremos saber, beleza?!

Vamos lá então.

Passo 2

Igualando a curva ao ponto inicial:

α t = t 2 2 , 4 t 3 3 ,   2 t = P 1 = 1 2 , 4 3 , 2

t 2 2 = 1 2

4 t 3 3 = 4 3

2 t = 2

Desse sistema encontramos que

t 1 = 1

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada da curva e o módulo da derivada, pra poder substituir na fórmula do comprimento do arco.

α t = t 2 2 , 4 t 3 3 ,   2 t

α ' t = 2 t 2 , 4 ∙ 3 t 2 2 t 3 3 ,   2

α ' t = t , 2 t 2 t 3 ,   2

Calculando o módulo:

α ' ( t ) = t 2 + 2 t 2 t 3 2 + 2 2

α ' ( t ) = t 2 + 4 t 4 t 3 + 4

α ' ( t ) = t 2 + 4 t + 4

Passo 4

Substituindo tudo o que temos agora na fórmula do comprimento do arco:

L = ∫ t 1 t 2 α ' ( t ) d t

L = ∫ 1 t 2 t 2 + 4 t + 4 d t = 8

Precisamos resolver essa integral, que já sabemos que vale 8 , para encontrar o valor de t 2 .

Mas, antes de você se descabelar todo e começar a correr em círculos porque não faz ideia como vai resolver uma integral com essa raíz ai dentro, eu te digo, CALMA. Respira e repara que na real, isso aí é um quedrado perfeito (UHUL)!

Então significa que a gente pode fazer isso daqui oh:

L = ∫ 1 t 2 t + 2 2 d t = 8

Daí agora podemos cortar quadrado com raiz e tudo fica lindo e maravilhoso e nossa integral fica molinha molinha.

L = ∫ 1 t 2 t + 2 d t = 8

t 2 2 + 2 t | t 2 1 = t 2 2 2 + 2 t 2 - 1 2 2 - 2.1 = 8

t 2 2 2 + 2 t 2 = 1 2 + 2 + 8 = 21 2

t 2 2 2 + 2 t 2 - 21 2 = 0

t 2 2 + 4 t 2 - 21 = 0

t 2 = - 4 ± 4 2 - 4.1 . - 21 2.1 = - 4 ± 10 2

t 2 = 3

t 2 = - 7

Porém, como t > 0 , o t 2 = - 7 não pode ser uma resposta.

Passo 5

Agora, para descobrir o ponto final, é só a gente substituir

t 2 = 3

Na parametrização da curva:

α t = t 2 2 , 4 t 3 3 ,   2 t

α 3 = 3 2 2 , 4 3 3 3 ,   2 . 3

α 3 = 9 2 , 4 3 3 3 2 ,   6

α 3 = 9 2 , 4 3 ,   6

Resposta

Letra ( d )

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