Encontre o comprimento da curva dada pela função vetorial r t → = 6 t 3 i - 2 t 3 j - 3 t 3 k , considerando 1 ≤ t ≤ 2

  1. 21
  2. 14
  3. 49
  4. 7
  5. 28

Passo 1

Vamos lembrar como se calcula o comprimento L de uma descrita por uma função r t → . A fórmula é essa aqui:

L = ∫ a b v t d t

Basicamente precisamos integrar o módulo do vetor velocidade da curva!

Passo 2

Então vamos começar calculando esse módulo v t . A gente sabe que o vetor velocidade é a derivada do vetor posição:

d d t r t → = v t →

E para derivar um vetor, temos que derivar cada uma das componentes:

v t → = d d t ( 6 t 3 ,   - 2 t 3 ,   - 3 t 3 )

v t → = ( d d t 6 t 3 , d d t - 2 t 3 , d d t   - 3 t 3 )

E como todas essas componentes são polinômios, as derivadas são bastante simples:

v t → = ( 18 t 2 , - 6 t 2 , - 9 t 2 )

Ótimo, e agora é só tirar o módulo desse vetor! Lembra da fórmula para calcular esse módulo?

( a , b , c ) = a 2 + b 2 + c 2

Aplicando isso no nosso vetor velocidade:

v t = 18 t 2 + - 6 t 2 2 + ( - 9 t 2 )

v t = 324 t 4 + 36 t 4 + 81 t 4 = 441 t 4

Calculando essa raiz quadrada, encontramos:

v t = 21 t 2

Passo 3

Agora vamos voltar à nossa fórmula:

L = ∫ a b v t d t

Substituindo o módulo que acabamos de encontrar:

L = ∫ a b 21 t 2   d t

E os limites de integração a e b já foram dados no enunciado, pois o t varia entre 1 e 2 :

L = ∫ 1 2 21 t 2   d t

Agora podemos resolver a integral! Como a integral de t 2 é t 3 / 3 :

L = 21 t 3 3 2 1 = 21 2 3 3 - 1 3 3 = 21 8 3 - 1 3 = 21 7 3 = 21.7 3 = 49

Então o comprimento da nossa curva é 49 .

Resposta

Letra (c).

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