Seja r   : 0 , T → R 3 uma parametrização de uma curva no espaço C , definida no intervalo [ 0 , T ] , com T > 0 . Suponha que r seja continuamente diferenciável, com derivada denotada por r ' . Assinale a alternativa incorreta:

  1. Se o comprimento de arco de uma curva é igual a T , então r ' t = 1 , para todo t ∈ [ 0 , T ]
  2. Se r ' t = k para todo t ∈ [ 0 , T ] , onde k > 0 é uma constante, então o comprimento de arco da curva é k T .
  3. Se r ' t = k para todo t ∈ [ 0 , T ] , onde k > 0 é uma constante, então a curva C está contida em uma esfera centrada na origem.
  4. Se a curva está contida em uma esfera centrada na origem, então r t ∙ r ' t = 0 para todo t ∈ [ 0 , T ]
  5. Se r ' t = ( a , b , c ) ≠ ( 0,0 , 0 ) para todo t ∈ [ 0 , T ] , onde a , b , c   são constantes, então a curva é uma reta.

Passo 1

Vamos analisar cada afirmação e, pra variar, vamos começar pela última.

Aaaaaah, por essa você não esperava né?!

“Se r ' t = ( a , b , c ) ≠ ( 0,0 , 0 ) para todo t ∈ [ 0 , T ] , onde a , b , c   são constantes, então a curva é uma reta.”

Se o vetor de derivadas, ou seja, se o vetor tangente, é formado somente por constantes, isto é, não depende do parâmetro t , então significa que ele tem sempre a mesma direção, em todos os pontos.

OU SEJEEEE, tamo falando de uma reta.

Além disso, matematicamente, podemos dizer:

r t = P 0 + a , b , c t

E isso é exatamente a parametrização de uma reta.

Belezinha?

Passo 2

“Se r ' t = k para todo t ∈ [ 0 , T ] , onde k > 0 é uma contante, então a curva C está contida em uma esfera centrada na origem.”

Podemos dizer que

r t = x t , y t , z t

Assim,

r ' t = x t 2 + y t 2 + z t 2 = k

Ou seja,

x t 2 + y t 2 + z t 2 = k 2

Que é exatamente a equação de uma esfera de raio k centrada na origem!

Passo 3

“Se a curva está contida em uma esfera centrada na origem, então r t ∙ r ' t = 0 para todo t ∈ [ 0 , T ]

Se a curva tá contida numa esfera, então os vetores r t e r ' t são perpendiculares. E o produto escalar entre dois vetores perpendiculares é nulo.

Passo 4

“Se r ' t = k para todo t ∈ [ 0 , T ] , onde k > 0 é uma constante, então o comprimento de arco da curva é k T .”

O comprimento do arco é dado pela fórmula

L = ∫ t 1 t 2 r ' ( t ) d t

Se r ' t = k , então

L = ∫ 0 T k d t = k t | T 0 = k T

Passo 5

“Se o comprimento de arco de uma curva é igual a T , então r ' t = 1 , para todo t ∈ [ 0 , T ]

Vamos lá, o comprimento do arco é

L = ∫ 0 T r ' ( t ) d t = T

A princípio, pode parecer verdade que para isso ser verdade, r ' t tem que ser igual a 1 . E de fato ele pode ser igual a 1 . Mas não para todo t ∈ [ 0 , T ] .

Por exemplo, se

r ' t = 2 t T

L = ∫ 0 T 2 t T d t = 2 T ∙ t 2 2 | T 0 = T

Logo, provamos que isso não é verdade e achamos (finalmente) a resposta da nossa questão.

Resposta

L e t r a   a

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