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Exercícios Resolvidos de Condições de Contorno

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Enunciado

Gás hélio está armazenado a 20 ° C em um vaso esférico feito com sílica fundida ( S i C O 2 ), que tem um diâmetro de 0,20   m e uma espessura de parede de 2   m m . Se o vaso é carregado até uma pressão inicial de 4   b a r , qual é a taxa na qual essa pressão diminui com o tempo?

Dados para Hélio-Sílica fundida a 20 ° C : D A B = 0,4 ⋅ 10 - 13   m 2 / s e S A B = 0,45 ⋅ 10 - 3   k m o l / m 3 ⋅ b a r .

Passo 1

Fala aí! Vamos começar anotando nossos dados! Temos uma parede com:

L = 2   m m → 0,002   m

E um vaso esférico com:

D = 0,20   m p A = 4   b a r T = 20 ° C → 293   K

Ela está entre dois meios que tem hidrogênio, e cada lado possui:

p A ,   1 = 3   b a r p A ,   2 = 1   b a r

O enunciado quer a taxa em que a pressão vai diminuir com o tempo d p A d t , ok?

Antes de ir para a diversão dos cálculos, vamos fazer algumas considerações importantes para nos facilitar, beleza?

Como o diâmetro é muito maior que a espessura vamos considerar que estamos trabalhando com uma parede plana, com difusão em uma única direção. Além disso, vamos considerar um regime estacionário, com o hélio se comportando como gás ideal e que a pressão do hélio no ar exterior será desprezível… Isso vai nos ajudar bastante!

Passo 2

Vamos lembrar que, pela conservação das espécies:

M A ,   a c u m u l a d a =   - M A ,   s a i

E que, por causa da difusão através da sílica:

M A ,   s a i = n A ,   x " ⋅ A

E o acúmulo de massa é dado por:

M A ,   a c u m u l a d a = d M A d t = d ρ A V d t

Opa! Então nosso balanço será:

d ρ A V d t =   - n A ,   x " ⋅ A

Sendo ρ A = M A ⋅ C A e usando a lei dos gases ideais, podemos ter que:

C A = p A ℜ ⋅ T

Então:

ρ A = M A ⋅ p A ℜ ⋅ T

Opa! Substituindo isso em nosso balanço, teremos:

d M A ⋅ p A ⋅ V ℜ ⋅ T d t =   - n A ,   x " ⋅ A

Reorganizando para ficar apenas com a taxa de pressão com o tempo, vamos ficar com:

d p A d t =   - ℜ ⋅ T M A ⋅ V ⋅ n A ,   x " ⋅ A

Passo 3

Chegou a hora de lembrar da lei de Fick, para ter a seguinte relação:

n A ,   x " =   - D A B ⋅ d ρ A d x

Isso quer dizer, nas nossas condições, que:

n A ,   x " = D A B ⋅ ρ A ,   1   -   ρ A ,   2 L

Para achar ρ A ,   1 e ρ A ,   2 vamos usar a massa molar e a solubilidade, olha só:

ρ A ,   1 = M A ⋅ S ⋅ p A ρ A ,   2 = M A ⋅ S ⋅ p A 0 = 0

Agora substituindo isso na nossa relação ali de cima, temos:

n A ,   x " = D A B ⋅ M A ⋅ S ⋅ p A L

Agora a gente pode substituir isso aí lá no nosso balanço e ficar com:

d p A d t =   - ℜ ⋅ T M A ⋅ V ⋅ D A B ⋅ M A ⋅ S ⋅ p A L ⋅ A

Passo 4

Sendo a área e o volume, dados por:

A = π ⋅ D 2 V = π ⋅ D 3 6

Nosso balanço vai ficar:

d p A d t =   - ℜ ⋅ T M A ⋅ π ⋅ D 3 6 ⋅ D A B ⋅ M A ⋅ S ⋅ p A L ⋅ π ⋅ D 2

Arrumando isso aí e cortando quem a gente pode, vamos ter:

d p A d t =   - 6 ⋅ ℜ ⋅ T ⋅ D A B ⋅ S ⋅ p A L ⋅ D

Usando como constante dos gases ℜ = 0,08314   m 3 ⋅ b a r / k m o l ⋅ K , e substituindo os nossos dados, temos:

d p A d t =   - 6 ⋅ 0,08314 ⋅ 293 ⋅ 0,4 ⋅ 10 - 13 ⋅ 0,45 ⋅ 10 - 3 ⋅ 4 0,002 ⋅ 0,2

Logo, a taxa de variação da pressão será:

d p A d t =   - 2,63 ⋅ 10 - 8   b a r / s

Show de bola! Terminamos!

Resposta

d p A d t =   - 2,63 ⋅ 10 - 8   b a r / s