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Exercícios Resolvidos de Condições de Contorno

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Enunciado

No processo de fabricação de etanol, o mosto de fermentação é preparado a partir da diluição de melaço (mel final) com água ou com caldo de cana. As massas específicas e as concentrações em grau Brix desses fluidos são apresentadas na tabela a seguir. Grau Brix representa a porcentagem em massa de sólidos solúveis contida em soluções aquosas de açúcares ou fração mássica ( x i ). É uma medida indireta do teor de açúcares em soluções, uma vez que a maioria dos sólidos solúveis nesses fluidos são açúcares.

Supondo que a vazão de mosto que alimenta uma dorna de fermentação seja de 80   m 3 / h e que o mesmo deva ter uma concentração de 20 °   B r i x . Calcular as vazões de melaço e de água e de melaço e de caldo de cana, dependo do tipo da diluição (com água ou caldo) e as respectivas massas específicas dos mostos ρ M , supondo que a massa específica da mistura ρ _ seja dada por:

O fluxograma do processo de diluição com água ou caldo de cana (corrente 2) é ilustrado na Figura:

Passo 1

Fala aí! Olha esse enunciado cheio de informação…

Relaxa! O que ele quer é que a gente encontre as vazões de melaço-água e melaço-cana, vamos nessa então!

Bom estamos trabalhando com um processo contínuo e estacionário, né? Pelo balanço de massa a gente vai ter que:

m f i n a l = m i n i c i a l

Sendo assim, temos que:

m 1 + m 2 = m 3

E lembrando que m = ρ ⋅ V :

ρ 1 ⋅ V 1 + ρ 2 ⋅ V 2 = ρ 3 ⋅ V 3

Beleza? Agora vamos pensar primeiro na diluição da água:

ρ 3 ⋅ 80 = 1400 ⋅ V 1 + 1000 ⋅ V 2

ρ 3 = 1400 ⋅ V 1 + 1000 ⋅ V 2 80

Humm… Não temos as duas vazões e nem o ρ 3 , mas e se a gente fizer o balanço para os sólidos? Vamos ver se encontramos alguma coisinha que nos ajude!

m S 3 = m S 1

x S 3 ⋅ m S 3 = x S 1 ⋅ m S 1

Vamos ter então:

x S 3 ⋅ ρ 3 ⋅ V 3 = x S 1 ⋅ ρ 1 ⋅ V 1

Substituindo nossos dados, teremos:

20 100 ⋅ ρ 3 ⋅ 80 = 58 100 ⋅ 1400 ⋅ V 1

Opa! Então descobrimos que:

ρ 3 = 50,75 ⋅ V 1

Agora substituindo o ρ 3 lá na outra equação, vamos ter:

50,75 ⋅ V 1 = 1400 ⋅ V 1 + 1000 ⋅ V 2 80

Daí nós conseguimos tirar uma relação de V 2 com V 1 , ficando com:

V 2 = 2,66 ⋅ V 1

Passo 2

Lembrando que:

ρ 3 = m 1   +   m 2 V 1   +   V 2 ρ 3 = ρ 1 ⋅ V 1   +   ρ 2 ⋅ V 2 V 1   +   V 2

Substituindo os valores que temos nessa relação, podemos encontrar o ρ 3 :

ρ 3 = 1400 ⋅ V 1   +   1000 ⋅ 2,66 ⋅ V 1 V 1   +   2,66 ⋅ V 1

ρ 3 = 1109,3   k g / m 3

Show! Agora podemos encontrar o V 1 e o V 2 , olha só:

1109,3 = 50,75 ⋅ V 1

V 1 = 21,9   m 3 / h

Então o V 2 , será:

V 2 = 2,66 ⋅ 21,9

V 2 = 58,3   m 3 / h

Agora vamos repetir o mesmo procedimento para a diluição do caldo de cana, beleza?

Passo 3

Para o caldo teremos:

ρ 3 ⋅ 80 = 1400 ⋅ V 1 + 1080 ⋅ V 2

ρ 3 = 1400 ⋅ V 1 + 1080 ⋅ V 2 80

Fazendo o balanço para os sólidos, temos:

m S 3 = m S 1 + m S 2

x S 3 ⋅ m S 3 = x S 1 ⋅ m S 1 + x S 2 ⋅ m S 2

Então:

x S 3 ⋅ ρ 3 ⋅ V 3 = x S 1 ⋅ ρ 1 ⋅ V 1 + x S 2 ⋅ ρ 2 ⋅ V 2

Substituindo nossos dados:

20 100 ⋅ ρ 3 ⋅ 80 = 58 100 ⋅ 1400 ⋅ V 1 + 14 100 ⋅ 1080 ⋅ V 2

Logo:

ρ 3 = 50,75 ⋅ V 1 + 9,45 ⋅ V 2

Agora substituindo o ρ 3 na equação, vamos ter:

50,75 ⋅ V 1 + 9,45 ⋅ V 2 = 1400 ⋅ V 1 + 1080 ⋅ V 2 80

Nossa relação de V 2 com V 1 agora fica:

V 2 = 8,21 ⋅ V 1

E sendo assim o nosso ρ 3 , pode ser escrito como:

ρ 3 = 128,3 ⋅ V 1

Passo 4

Usando a relação onde:

ρ 3 = ρ 1 ⋅ V 1   +   ρ 2 ⋅ V 2 V 1   +   V 2

Podemos substituir o que descobrimos e teremos:

ρ 3 = 1400 ⋅ V 1   +   1080 ⋅ 8,21 ⋅ V 1 V 1   +   8,21 ⋅ V 1

ρ 3 = 1114,7   k g / m 3

Sendo assim, vamos ter agora que V 1 e o V 2 , serão:

1114,7 = 128,3 ⋅ V 1

V 1 = 8,7   m 3 / h

Agora o V 2 :

V 2 = 8,21 ⋅ 8,7

V 2 = 71,4   m 3 / h

Uhul! Arrasamos!

Resposta

Para a água: V 1 = 21,9   m 3 / h e V 2 = 58,3   m 3 / h ;

Para o caldo de cana: V 1 = 8,7   m 3 / h e V 2 = 71,4   m 3 / h .