Exercícios Resolvidos de Condução com Geração Térmica

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Enunciado

(Adaptado) Rejeitos radioativos são colocados em um recipiente esférico de parede delgada. Os rejeitos geram energia térmica por unidade de volume de forma não uniforme de acordo com a relação q 0 1   -   r / r 0 2 . Onde r 0 é o raio do recipiente e q 0 uma constante.

Mantidas as condições de regime estacionário pela imersão do recipiente em um líquido que se encontra a T ∞ e que fornece um coeficiente convectivo h uniforme.

Determine a distribuição de temperaturas T r no interior do recipiente. Expresse seu resultado em termos de q 0 , r 0 , T ∞ , h e k (condutividade térmica do rejeito).

Passo 1

A equação de calor para um sistema esférico é dada por:

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen 2 ⁡ θ . ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ k sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ + q ˙ = ρ c p . ∂ T ∂ t

Como o problema nos disse para considerar regime estacionário, e considerando que o fluxo de calor se dá somente na direção radial, a equação de calor pode ser simplificada para:

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + q ˙ = 0

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r = - q ˙

Substituindo a expressão da geração de calor, teremos:

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r = - q 0 1   -   r r 0 2

Passo 2

Vamos agora resolver a equação, beleza?

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r = - q 0 1   -   r r 0 2

Multiplicando os dois lados por r 2 , teremos:

∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r = - q 0 r 2   - r 4 r 0 2

Integrando dos dois lados em relação a r :

k r 2 ∂ T ∂ r = - q 0 r 3 3   - r 5 5 . r 0 2 + C 1

Dividindo ambos os lados por k r 2 :

∂ T ∂ r = - q 0 k . r 3   - r 3 5 . r 0 2 + C 1 k . 1 r 2

Integrando novamente em relação a r :

T r = - q 0 k . r 2 6   - r 4 20 . r 0 2 - C 1 k . 1 r + C 2

Agora temos que descobrir as constantes C 1 e C 2 . Para isso, vamos precisar das condições de contorno.

Passo 3

  • Condição de contorno 1: fluxo de calor zero no centro.

q r = 0 = 0

- k . A . ∂ T ∂ r r = 0 = 0

∂ T ∂ r r = 0 = 0

Nós encontramos a expressão de ∂ T / ∂ r no passo anterior.

∂ T ∂ r = - q 0 k . r 3   - r 3 5 . r 0 2 + C 1 k . 1 r 2

Se liga que, ao avaliarmos a equação na posição r = 0 , o termo com a constante C 1 tende ao infinito. Como a derivada não pode tender ao infinito, a constante C 1 deve ser zero pra cancelar a contribuição desse termo, logo:

Passo 4

  • Condição de contorno 2: convecção na superfície.

q r = r 0 = h . T r 0 - T ∞

- k . A . ∂ T ∂ r r = r 0 = h . A . T r 0 - T ∞

Onde:

T r 0 = - q 0 k . r 0 2 6   - r 0 4 20 . r 0 2 + C 2 = - q 0 k . r 0 2 6   - r 0 2 20 + C 2

T r 0 = - 7 . q 0 . r 0 2 60 . k + C 2

E, usando a expressão da derivada:

∂ T ∂ r r = r 0 = - q 0 k . r 0 3   - r 0 3 5 . r 0 2

∂ T ∂ r r = r 0 = - 2 . q 0 . r 0 15 . k

Assim:

k . A . 2 . q 0 . r 0 15 . k = h . A . - 7 . q 0 . r 0 2 60 . k + C 2 - T ∞

Reorganizando os termos pra isolar C 2 :

- 7 . q 0 . r 0 2 60 . k + C 2 - T ∞ = 2 . q 0 . r 0 15 . h

C 2 = T ∞ + q 0 . r 0 15 7 . r o 4 . k + 2 h

Assim:

T r = - q 0 k . r 2 6   - r 4 20 . r 0 2 + T ∞ + q 0 . r 0 15 7 . r o 4 . k + 2 h

Resposta

T r = - q 0 k . r 2 6   - r 4 20 . r 0 2 + T ∞ + q 0 . r 0 15 7 . r o 4 . k + 2 h

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