Exercícios Resolvidos de Condução com Geração Térmica

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Enunciado

Considere um cabo elétrico longo, de raio 2 m m e condutividade térmica 15   W / ( m . K ) , no qual calor é uniformemente gerado com uma taxa volumétrica de 50 × 10 6   W / m 3 . Este cabo é revestido com uma camada de plástico de 5   m m de espessura e condutividade térmica de 1,2   W / ( m . K ) .

O plástico está em contato perfeito com a superfície do cabo elétrico. A temperatura da superfície externa do plástico é de 45 ° C . No regime permanente, calcule:

i Temperatura na interface entre o cabo e o plástico;

i i Temperatura no centro do cabo.

i i i O revestimento plástico reduz ou aumenta a temperatura na superfície do cabo? Justifique sua resposta.

Passo 1

i Temperatura na interface entre o cabo e o plástico;

Pra calcular a temperatura na interface, devemos calcular a taxa de transferência de calor. Nesse sistema, o calor está sendo gerado pelo próprio fio. Assim:

q = q ˙ . V = q ˙ . π r i 2 . L

Onde r i é o raio do fio. Dessa forma:

q = 50 × 10 6 × π × 2 × 10 - 3 2 × L

q = 200 π L

Podemos calcular a temperatura na interface entre o cabo e o plástico utilizando o conceito de resistência térmica, onde:

q = T i - T e R t → T i = T e + q . R t

Onde R t é a resistência térmica de condução através do isolante de raio externo r e , dada por:

R t = ln ⁡ r e / r i 2 π k p L = ln ⁡ 7 / 2 2 π × 1,2 × L

R t = 0,522 π L

Dessa forma:

T i = T e + q . R t = 45 + 200 π L × 0,522 π L

T i = 149,4 ° C

Passo 2

i i Temperatura no centro do cabo.

Para calcular a temperatura no centro do cabo, vamos ter que resolver a equação de calor para o sistema com geração de energia.

A equação de calor para sistemas cilíndricos, considerando que regime permanente será dada por:

1 r . d d r r d T d r + q ˙ k = 0

Onde, como condições de contorno, temos fluxo térmico nulo no centro do fio e temperatura constante para r = r e . Dessa forma:

r = 0 → d T d r = 0

r = r e → T r e = 149,4 ° C

Integrando a equação calor, teremos:

d T d r = - q ˙ 2 . k . r + C 1 r

Utilizando a nossa primeira condição de contorno, temos que C 1 = 0 .

d T d r = - q ˙ 2 . k . r

Integrando novamente a equação:

T r = - q ˙ 4 . k . r 2 + C 2

Utilizando a segunda condição de contorno:

T r e = 149,4 = - 50 × 10 6 × 2 × 10 - 3 2 4 × 15 + C 2

C 2 = 152,73

Assim:

T r = - q ˙ 4 . k . r 2 + 152,73

Como queremos saber a temperatura no centro, para r = 0 :

T 0 = 152,73 ° C

Passo 3

i i i O revestimento plástico reduz ou aumenta a temperatura na superfície do cabo? Justifique sua resposta.

O revestimento não interfere na temperatura do cabo porque ele não dá, nem retira calor. O revestimento na verdade irá interferir na taxa de transferência de calor do sistema.

Resposta

i T i = 149,4 ° C

i i T 0 = 152,73 ° C

i i i O revestimento não interfere na temperatura na superfície do cabo.

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