Exercícios Resolvidos de Condução com Geração Térmica

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Enunciado

Considere uma embalagem de maçãs, cada uma com 80   m m de diâmetro, na qual o ar escoa a 5 o C e com velocidade de 0,5   m . s - 1 . O valor do coeficiente de transferência de calor por convecção é 7,5   W . m - 2 . K - 1 . No interior de cada maçã, a energia térmica é gerada uniformemente a uma taxa total de 4000   J . k g - 1 . d i a - 1 . A massa específica e a condutividade térmica da maçã são respectivamente 840   k g . m - 3 e 0,5   W . m - 1 . K - 1 .

Determine as temperaturas do centro e da superfície da maçã.

Passo 1

Bora dar uma olhada num esquema que representa esse problema:

Como nosso objetivo é calcular a temperatura no centro e na superfície das maçãs e elas podem ser aproximadas de esferas, vamos usar a equação do calor em coordenadas esféricas:

1 r 2 . ∂ ∂ r k . r 2 . ∂ T ∂ r + 1 r 2 . sen 2 ⁡ θ . ∂ ∂ ϕ k . ∂ T ∂ ϕ + 1 r 2 . sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ k . sen ⁡ θ . ∂ T ∂ θ + q ˙ = ρ . c p . ∂ T ∂ t

Ao admitir que a condução é adimensional na direção r e que as propriedades são constantes, considerando no regime estacionário, ficamos com:

k r 2 . ∂ ∂ r r 2 . ∂ T ∂ r + q ˙ = 0

Reorganizando a equação:

∂ ∂ r r 2 . ∂ T ∂ r = - q ˙ k . r 2

Integrando em termos do raio r :

∫ ∂ ∂ r r 2 . ∂ T ∂ r d r = ∫ - q ˙ k . r 2 d r

r 2 . ∂ T ∂ r = - q ˙ 3 .   k . r 3 + C 1

Reorganizando:

∂ T ∂ r = - q ˙ 3 .   k . r + C 1 r 2

Integrando novamente:

∫ ∂ T ∂ r d r = ∫ - q ˙ 3 .   k . r + C 1 r 2 d r

T r = - q ˙ 6 .   k . r 2 - C 1 r + C 2

Pronto! Conseguimos determinar o perfil de temperatura! Agora só a gente achar as constantes pelas condições de contorno.

Passo 2

Vamos avaliar a situação pra definir quais serão as condições de contorno:

A primeira condição de contorno que usaremos tem a ver com a simetria da esfera. “Como assim?”

Você pode pensar de duas formas diferentes:

  1. A energia que é gerada no volume da esfera acaba saindo por convecção pra todos os lados, devido à simetria do corpo. Sendo assim, o fluxo de calor no centro da esfera é zero.
  2. Como a energia é gerada em todo o volume e sai pelas superfícies, a gente pode esperar que o centro seja o ponto de máxima temperatura da esfera. Sendo assim, a derivada da temperatura no centro é zero.

Então, bora lá:

  • Condição de contorno 1: fluxo de calor zero no centro.

q ' ' r = 0 = 0

- k . d T d r r = 0 = 0

Já encontramos no Passo 1, a expressão da derivada da temperatura:

∂ T ∂ r = - q ˙ 3 .   k . r + C 1 r 2

Note que, ao avaliarmos a equação na posição r = 0 , o termo com a constante C 1 tende ao infinito. Como a derivada não pode tender ao infinito, a constante C 1 deve ser zero pra cancelar a contribuição desse termo:

C 1 = 0

Passo 3

Além disso, as maçãs estão suscetíveis a convecção do ar que escoa sobre elas, logo a condição de contorno em r = D / 2 é de convecção na superfície. Dá uma olhada:

  • Condição de contorno 2: convecção na superfície.

q ' ' r = D 2 = h . T D 2 - T ∞

- k . d T d r r = D 2 = h . T s - T ∞

Substituindo a expressão da derivada da temperatura avaliada em x = D / 2 , ficamos com:

- k . - q ˙ 3 .   k . D 2 + 0 = h . T s - T ∞

+ q ˙ . D 6 = h . T s - T ∞

Logo:

T s = T ∞ + q ˙ . D 6 . h

Antes de substituir os valores, bora converter a taxa volumétrica ( q ˙ ) pra unidade no SI:

q ˙ = 4 x 10 3 J k g . d i a . 1   d i a 86400   s . 840   k g m ³

q ˙ = 38,9   W . m - 3

Substituindo os valores do enunciado e a taxa convertida em SI:

T s = 278   K + 38,9   W . m - 3 . 0,08   m 6 . 7,5   W . m - 2 . K - 1

T s = 278,07   K

Em graus Celcius:

T s = 5,07 o C

Passo 4

Agora a gente só precisa determinar a temperatura do centro! Avaliando o perfil de temperatura no centro:

T r = - q ˙ 6 .   k . r 2 + C 2

T 0 = - q ˙ 6 .   k . 0 2 + C 2

Logo:

C 2 = T 0

Avaliando o perfil em na superfície:

T r = - q ˙ 6 .   k . r 2 + T 0

T s = - q ˙ 6 .   k . D 2 2 + T 0

Assim, isolando a temperartuta do centro ( T 0 ):

T 0 = T s + q ˙ 6 .   k . D 2 2

Substituindo os valores:

T 0 = 278,07   K + 38,9   W . m - 3 6 . 0,5   W . m - 1 . K - 1 . 0,08   m 2 2

T 0 = 278,09   K

Em graus Celcius:

T 0 = 5,09 o C

Resposta

T s = 5,07 o C                 e                 T 0 = 5,09 o C

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