Exercícios Resolvidos de Condução com Geração Térmica

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Enunciado

Um tubo ( k = 0,4   W / m K ) de diâmetro interno igual a 1   m e espessura igual a 5   m m , tem comprimento igual a 2   m . Uma resistência elétrica gera calor dentro da parede do tubo a uma taxa igual a:

q = 100 r   W / m 3

A parede externa do tubo perde calor para o ambiente, que está a 20 ° C ( h =   10   W / m 2 K ) e transfere calor para o fluido interno, a uma taxa igual a 4   W / m 2 . Considere regime permanente e condução apenas na direção radial.

Determine:

a A distribuição de temperaturas na parede do tubo.

b O fluxo de calor por condução ao longo do raio (em W).

c A posição onde ocorre a temperatura máxima da parede.

Passo 1

a A distribuição de temperaturas na parede do tubo.

A equação de calor para sistemas cilíndricos é dada por:

1 r . ∂ ∂ r k . r . ∂ T ∂ r + 1 r 2 . ∂ ∂ ϕ k . ∂ T ∂ ϕ + ∂ ∂ z k . ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ . c p . ∂ T ∂ t

Considerando regime permanente e condução apenas na direção radial, teremos:

1 r . d d r k . r . d T d r + q ˙ = 0

Partiu resolver essa equação diferencial:

1 r . d d r k . r . d T d r = - q ˙ = - 100 r

d d r k . r . d T d r = - 100

Integrando dos dois lados:

k . r . d T d r = - 100 r + C 1

d T d r = - 100 k + C 1 r

Onde k = 0,4   W / m K .

d T d r = - 100 0,4 + C 1 r

d T d r = - 250 + C 1 r

Integrando novamente dos dois lados:

T r = - 250 r + C 1 . ln ⁡ r + C 2

Passo 2

Para descobrir os valores de C 1 e C 2 , basta utilizar as condições de contorno, onde há convecção na parede externa e um fluxo térmico constante na parede interna, logo:

- k . d T d r r = 0,5 m = q ' '

- k . d T d r r = 0,505 m = h . T r - T ∞

Dessa forma, utilizando a primeira condição de contorno:

- k . d T d r r = 0,5 m = q ' '

- 0,4 × - 250 + C 1 0,5 = 4 → 100 - 0,8 C 1 = 4

0,8 C 1 = 96

C 1 = 120

Utilizando a segunda condição de contorno:

- k . d T d r r = 0,505 m = h . T r - T ∞

- 0,4 × - 250 + 12 0 0,505 = 10 × - 250 × 0,505 + 12 0 × ln ⁡ 0,505 + C 2 - 20

4,95 = 10 C 2 - 2 282 , 37

C 2 = 229,03

Finalmente, a distribuição de temperatura é dada por:

T r = - 250 r + 120 . ln ⁡ r + 229,03

Passo 3

b O fluxo de calor por condução ao longo do raio (em W).

O fluxo de calor é dado por:

q ' ' = - k . d T d r

Derivando a expressão da temperatura que acabamos de encontrar:

q ' ' = - 0,4 × - 250 + 12 0 r

q ' ' = 100 - 48 r

Mas aí, repara que o fluxo de calor é dado em W / m 2 . E o que ele quer é em W . Então temos que multiplicar esse cara pela área interna, que é:

A r = 2 π r × L

A r = 2 π r × 2

A r = 4 π r

Então:

q = q ' ' A = 100 - 48 r 4 π r

q = q ' ' A = 400 π r - 192 π

Passo 4

c A posição onde ocorre a temperatura máxima da parede.

A posição será dada por:

d T d r = 0

Dessa forma:

- 250 + 120 r = 0

1 2 0 r = 250

r = 1 2 0 250

r = 0,48   m

Resposta

a T r = - 250 r + 120 . ln ⁡ r + 229,03

b q = q ' ' A = 400 π r - 192 π

c r = 0,48   m

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