Exercícios Resolvidos de Condução com Geração Térmica

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Enunciado

Uma parede plana é composta por dois materiais A e   B . A parede de material A apresenta uma geração de energia de q ˙ = 1,5 × 10 6   W / m 3 , k A = 75   W / m K   e espessura de L A = 50   m m . A parede de material B , sem geração de calor, é caracterizada por k B = 150   W / m K e L B = 20   m m .

A superfície interna do material A é bem isolada, enquanto que a superfície externa está sendo resfriada por uma corrente de água a T ∞ = 30 ° C e h = 1000   W / m 2 K .

a Esquematize o perfil de temperatura que existe no sistema sob condições de estado estacionário.

b Determine a temperatura T 1 da interface dos materiais e a temperatura T 2 da superfície resfriada.

Passo 1

a Esquematize o perfil de temperatura que existe no sistema sob condições de estado estacionário.

Já discutimos nos tópicos anteriores como são os perfis de temperatura na parede plana com geração (parabólico) e sem geração (reta). Então vamos analisar como o perfil de temperatura se comporta em cada material.

Material A:

Além disso, sabemos que o fluxo de calor na superfície isolada é zero, ou seja:

- k ∂ T ∂ x x = 0 = 0

Se a derivada da temperatura é nula, isso significa que esse ponto será um ponto de máxima ou de mínima temperatura.

Como há geração de calor na superfície A e esse calor só escapa pela direita (lado do material B), podemos afirmar que:

T 0 > T 1 > T 2

Sendo assim, a gente conclui que a temperatura em x = 0 é um ponto de máximo e a parábola no material A tem concavidade pra baixo!

Passo 2

Material B:

Por fim, a gente pode avaliar a derivada das curvas na transição do material A para o material B . “Mas como?”

A condutividade térmica nos dá essa informação! Quanto maior a condutividade térmica de um material, menor será a resistência térmica de condução e, consequentemente, as temperaturas estre duas extremidades serão mais parecidas.

Sendo assim, quando a gente avalia quantos graus variaram em um determinado espaço de tempo (conceito da derivada), esse valor será pequeno.

Sendo assim, como a condutividade térmica do material B é maior que a do material A , podemos afirmar que a derivada do perfil em B será menor que a derivada em A .

Passo 3

Por fim, o perfil de temperatura da superfície para o fluido é semelhante a uma exponencial, pois a convecção é um fenômeno muito intenso e a temperatura, em pouco espaço, já alcança o valor da temperatura no seio do fluido ( T ∞ ).

Diante disso tudo, propomos o seguinte perfil de temperatura:

Passo 4

b Determine a temperatura T 1 da interface dos materiais e a temperatura T 2 da superfície resfriada.

A temperatura da superfície externa ( T 2 ) pode ser obtida se fizermos um balanço de energia na parede de material B . Como não há geração nesse material, temos que o fluxo de calor que entra pela superfície a temperatura de T 1 é o mesmo fluxo que sai por convecção pela superfície a T 2 :

q ' ' = h . ( T 2 - T ∞ )

Esse fluxo de calor pode ser determinado por um segundo balanço de energia, mas agora na parede de material A . Como não há fluxo pela superfícies isolada, todo o calor gerado no material A , sai pela superfície em x = L A .

Dessa maneira, a gente pode escrever o seguinte:

q ˙ . V o l = q

Dividindo pela área de troca térmica, pra escrevermos em termos do fluxo de calor e não da taxa, ficamos com:

q ˙ . L A = q ' '

Igualando as duas expressões pro fluxo que achamos, teremos:

q ˙ . L A = h . ( T 2 - T ∞ )

Isolando a temperatura T 2 , a gente fica com:

T 2 = T ∞ + q ˙ . L A h

Onde:

T ∞ = 30 ° C

q ˙ = 1,5 × 10 6   W / m 3

L A = 50   m m = 0,05   m

h = 1000   W / m 2 K

Substituindo os valores:

T 2 = 30 + 1,5 × 10 6 × 0,05 1000

T 2 = 105 ° C

Passo 5

Pra gente encontrar a temperatura T 1 , a gente pode fazer um circuito na parte da direita do sistema, porque ali não há geração então a gente pode montar circuito térmico!

Fazendo isso, teremos o seguinte:

Dessa maneira a gente pode escrever o fluxo de calor da seguinte forma:

q ' ' = T 1 - T ∞ R c o n d ,   B ' ' + R c o n v ' '

Obs.: Estamso definindo R ' ' as resistências térmicas associadas ao fluxo de calor, ao invés da taxa de transferência de calor.

Isolando a temperatura de interesse T 1 , a gente tem que:

T 1 = T ∞ + q ' ' . ( R c o n d ,   B ' ' + R c o n v ' ' )

T 1 = T ∞ + q ' ' . L B k B + 1 h

Onde:

T ∞ = 30 ° C

q ' ' = q ˙ . L A = 1,5 ×   10 6 × 0,05 → q ' ' = 7,5 × 10 4   W / m 2

L B = 20   m m = 0,02   m

k B = 150   W / m K

h = 1000   W / m 2 K

Substituindo os valores:

T 1 = 30 + 7,5 × 10 4 . 0,02 150 + 1 1000

T 1 = 115 ° C

Resposta

a O perfil de temperatura no sistema é dado abaixo:

b

T 1 = 115 ℃

T 2 = 105 ° C

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