Exercícios Resolvidos de Condução com Geração Térmica

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Enunciado

O ar no interior de uma câmara a T ∞ , i = 50 ° C é aquecido por convecção com h i   = 20   W . m - 2 . K - 1   por uma parede de espessura de 200   m m e condutividade térmica 4   W . m - 1 . K - 1 com geração uniforme de calor de 1000   W . m - 3 . Para evitar que a geração de calor no interior da parede seja perdida para o exterior da câmara a T ∞ , o = 25 o C   com h o = 5   W . m - 2 . K - 1 , um aquecedor elétrico de fita é colocado na rede externa para fornecer um fluxo uniforme de calor q 0 ' ' .

a Esboce a distribuição de temperatura na parede em coordenadas T - x para a condição em que não ocorre a perda do calor gerado no interior da parede para o exterior da câmara.

b Quais são as temperaturas nas fronteiras da parede ( T ( 0 ) e T ( L ) ), para as condições do item a ?

c Determine o valor de q 0 ' '   que deve ser fornecido pelo aquecedor de fita de modo qe todo o calor gerado no interior da parede seja transferido para o interior da câmara.

d Se a geração de calor da parede for interrompida e o fluxo de calor do aquecedor de fita mantido constante, qual seria a temperatura em regime estacionário T ( 0 ) da superfície externa da parede?

Passo 1

a Esboce a distribuição de temperatura na parede em coordenadas T - x para a condição em que não ocorre a perda do calor gerado no interior da parede para o exterior da câmara.

Nosso objetivo aqui é construir o perfil de temperatura dentro da parede com geração. Para isso, temos que recorrer à equação do calor em sistemas cartesianos:

∂ ∂ x k . ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k . ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k . ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ . c p . ∂ T ∂ t

Ao admitir a condução somente na direção x e propriedades constantes, avaliando o estado estacionário, ficamos com:

k . d d x d T d x + q ˙ = 0

Reorganizando a equação:

d d x d T d x = - q ˙ k

Assim, podemos integrar a equação em relação a x :

∫ d d x d T d x d x = - ∫ q ˙ k d x

d T d x = - q ˙ k . x + C 1

Integrando mais uma vez a equação em termos de x :

∫ d T d x d x = ∫ - q ˙ k . x + C 1 d x

Assim, temos que o perfil de temperaturas é dado por:

T x = - q ˙ 2 . k . x 2 + C 1 . x + C 2

Logo, verificamos que o perfil de temperatura é parabólico! Para saber exatamente como ele é, a gente precisa das condições de contorno! Mas de forma qualitativa, a gente pode avaliar o seguinte:

A função é um semi-parábola, porque em x = 0 não há perdas de energia para o ambiente, porque um fluxo de calor é fornecido nesse ponto de mesmo valor que seria a perda de energia por convecção.

Concluímos que a derivada da temperatura é zero em x = 0 e, consequentemente, esse é um ponto de máximo ou de mínimo.

Como um fluxo de calor é fornecido na superfície em x = 0 , espera-se que essa superfície seja mais quente que a de x = L , logo é um ponto de máximo!

Então, o perfil será:

Passo 2

b Quais são as temperaturas nas fronteiras da parede T ( 0 ) e T ( L ) , para as condições do item a ?

Temos agora que determinar quais as temperaturas da parede: T 0 e T L . Como já vimos na letra a), o perfil de temperaturas dentro da parede é dado por:

T x = - q ˙ 2 . k . x 2 + C 1 . x + C 2

Então, se conseguirmos descobrir as constantes C 1 e C 2 , poderemos calcular a temperatura em qualquer posição de x , inclusive nas extremidades como é o nosso objetivo!

Para isso, a gente precisa de condições de contorno! Vamos avaliar quais são as condições de contorno. O sistema é o seguinte:

Note que, na superfície 1 , temos a condição de um fluxo zero ( q ' ' x = 0 = 0 ) e, na superfície 2 , temos a condição do fluxo de condução ser igual ao de convecção. Então vamos trabalhar com cada condição separadamente.

Passo 3

Condição de contorno 1: fluxo zero na parede.

q ' ' x = 0 = 0

- k . d T d x x = 0 = 0

Já sabemos a expressão para a derivada da temperatura na letra a):

d T d x = - q ˙ k . x + C 1

Em x = 0 , temos:

d T d x x = 0 = - q ˙ k . 0 + C 1

d T d x x = 0 = C 1

Substituindo na equação:

- k . C 1 = 0

C 1 = 0

Passo 4

Condição de contorno 2: fluxo de condução igual ao de convecção.

q ' ' x = L = h . T ( L ) - T ∞ , i

- k . d T d x x = L = h . T ( L ) - T ∞ , i

Substituindo a expressão da derivada da temperatura avaliada em x = L , ficamos com:

- k . - q ˙ k . L + C 1 = h . T ( L ) - T ∞ , i

Já sabemos que C 1 = 0 , então:

q ˙ . L = h . T ( L ) - T ∞ , i

q ˙ . L = h . T L - h . T ∞ , i

Logo:

T L = T ∞ , i + q ˙ . L h

Substituindo os valores:

T L = 50 + 1000 × 0,2 20

T L = 60 ° C

Já achamos a temperatura de uma das extremidades só com essa condição de contorno! Show!

Passo 5

Se a gente avaliar o perfil em x = 0 , ficaremos com:

T 0 = - q ˙ 2 . k . 0 2 + ( 0 ) . 0 + C 2

Logo, concluímos que:

C 2 = T 0

Avaliando o perfil de temperatura em x = L , ficamos com:

T L = - q ˙ 2 . k . L 2 + ( 0 ) . L + C 2

Substituindo os valores:

60 = - 1000 2.4 . 0,2 2 + T 0

Assim:

T 0 = 65 ° C

Passo 6

c Determine o valor de q 0 ' '   que deve ser fornecido pelo aquecedor de fita de modo que todo o calor gerado no interior da parede seja transferido para o interior da câmara.

O aquecedor de tira deve fornecer um fluxo de calor suficiente para que a perda de calor para o exterior seja zero, ou seja, a quantidade de calor que ele fornece deve ser igual ao fluxo de calor que seria perdido por convecção:

q o ' ' = q c o n v ' '

Sendo assim, vamos calcular o calor de convecção que seria perdido se não houvesse o aquecedor:

q c o n v ' ' = h . T ( 0 ) - T ∞ , o

Substituindo os valores:

q c o n v ' ' = 5 . 65 - 25

q o ' ' = q c o n v ' ' = 200   W / m 2

Passo 7

d Se a geração de calor da parede for interrompida e o fluxo de calor do aquecedor de fita mantido constante, qual seria a temperatura em regime estacionário T ( 0 ) da superfície externa da parede?

Se a geração de calor for interrompida a gente cai nas situações que já vimos nos outros tópicos: condução sem geração.

Sendo assim, a gente pode usar circuito térmico em todo o sistema! Dá uma olhadinha:

Fazendo um balanço de energia no nó de temperatura T 1 , a gente fica com:

q o ' ' = q a ' ' + q b ' '

Substituindo as expressões com as resistências térmicas:

q o ' ' = T 1 - T ∞ , o 1 h e + T 1 - T ∞ , i L k + 1 h i

Substituindo os valores de cada propriedade:

200 = T 1 - 25 1 5 + T 1 - 5 0 0,2 4 + 1 20

Reorganizando os termos, temos que:

T 1 = 55 ° C

Resposta

a

b

T L = 60 ° C

T 0 = 65 ° C

c

q o ' ' = 200   W . m - 2

d

T 1 = 55   ° C

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