Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

UFPE, Geometria Analítica, 3º EE - 2016.2, Questão Q3

Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica Ω que tem diretriz

γ : x 2 + y + 2 2 = 1 z = 0

e vértice V = ( 0 ,   0 ,   2 ) . Observe se todos os pontos de Ω são dados pela equação obtida.

Passo 1

A cônica Ω é a união das retas que passam por V = ( 0 ,   0 ,   2 ) e por algum ponto genérico de γ : Q = ( u ,   v ,   w ) .

Beleza, mas qualquer ponto da cônica Ω vai pertencer a uma tal reta, ou seja, V Q λ V P . Portanto, temos o seguinte sistema para eliminar os parâmetros u , v , w e λ :

u 2 + v + 2 2 = 1 w = 0 u = λ x v = λ y w - 2 = λ z - 2 λ = - 2 z - 2   ( p a r a   z 2 ) 2 x z - 2 2 + - 2 y z - 2 + 2 2 = 1

A equação que obtemos, que é livre de parâmetros, não é verdadeira para o vértice V = ( 0 ,   0 ,   2 ) .

Logo, Ω consiste do ponto V e dos pontos P = ( x ,   y ,   z ) tais que

4 x 2 ( z - 2 ) ² + - 2 y + 2 z - 4 2 ( z - 2 ) ² = 1

Multiplicando essa equação por ( z - 2 ) ² , teremos

4 x 2 + - 2 y + 2 z - 4 2 = ( z - 2 ) ²

Fazendo z = 2 nessa equação, teremos

4 x 2 + 4 y 2 = 0

Que é a equação da cônica Ω .

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Resposta

4 x 2 + 4 y 2 = 0

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