Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Escreva a equação do cilindro obtido rotacionando a reta x = 0 ,   y = 1 ,   z = t ,   t ∈ R , em torno do eixo O z . Faça um desenho.

Passo 1

Belezera galerinha o enunciado deu pra gente a reta x = 0 ,   y = 1 ,   z = t ,   t ∈ R que podemos escrever como a interseção dos planos x = 0 e y = 1 :

r : x = 0 y = 1

Essa superfície cilíndrica, vai ser o conjunto de todas as circunferências c λ μ contidas nos planos perpendiculares ao eixo O z que interceptam a reta em algum ponto!! Isto é, tais circunferências são a interseção de planos perpendiculares ao eixo de rotação com superfícies esféricas onde o centro está em algum lugar no eixo z , por exemplo 0 ,   0 ,   0 . Dessa forma:

c λ μ : z = λ x 2 + y 2 + z 2 = μ 2

Passo 2

Iradoso, agora que a gente já sabe disso, podemos pegar um ponto P = u ,   v ,   w que pertence a c λ μ e a reta r ao mesmo tempo, tal que:

u = 0 v = 1 w = λ u 2 + v 2 + w 2 = μ 2

Da terceira linha tiramos que:

0 2 + 1 2 + λ 2 = μ 2

μ 2 = λ 2 + 1  

Só que sabemos que z = λ , de modo que:

μ 2 = 1 + z 2

E como nossa equação era x 2 + y 2 + z 2 = μ 2 , podemos reescrever como:

x 2 + y 2 + z 2 = 1 + z 2

x 2 + y 2 = 1

Portanto nosso cilindro obtido através da rotação pelo eixo z da reta x = 0 ,   y = 1 ,   z = t ,   t ∈ R é dado por:

x 2 + y 2 = 1

Resposta

x 2 + y 2 = 1

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