Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica Γ cuja diretriz é a intersecção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com o plano 2 y + 3 z = 6 e cujas diretrizes são paralelas ao eixo z .

Passo 1

a) A diretriz de Γ é a intersecção da esfera com o plano, logo, vai ser dada pelo seguinte sistema:

γ :   x 2 + y 2 + z 2 = 4 2 y + 3 z = 6     ( I )

Vamos supor um ponto P = ( x ,   y ,   z ) que pertence a Γ .

Pelas condições do enunciado, deve existir um ponto Q = ( u ,   v ,   w ) pertencente a γ que satisfaça a condição de que P Q → paralelo ao eixo z , ou seja : P Q → = λ k ^ , onde k ^ é o vetor diretor unitário do eixo z , ou seja, k ^ = ( 0 ,   0 ,   1 ) .

Passo 2

Sabemos que P Q → = Q - P , ou seja:

Q - P = λ ( 0 ,   0 ,   1 )

Substituindo os pontos Q e P :

u ,   v ,   w = x ,   y ,   z + λ ( 0 ,   0 ,   1 )

O que nos dá:

u = x + 0 λ   v = y + 0 λ w = z + 1 λ   ( I I )

Passo 3

Beleza, a gente sabe que Q pertence a γ , então a gente pode substituir as coordenadas de Q (dadas no sistema ( I I ) ) no sistema ( I ) , assim olha:

u 2 + v 2 + w 2 = 4 2 v + 3 w = 6     ( I I I )

Substituindo ( I I ) em ( I I I ) :

x 2 + y 2 + ( z + λ ) 2 = 4 2 y + 3 ( z + λ ) = 6    

Isolando z + λ na equação de baixo:

z + λ = 6 - 2 y 3

Agora vamos substituir isso na equação de cima:

x 2 + y 2 + 6 - 2 y 3 2 = 4

Então, por fim, a equação vai ficar assim:

x 2 + 13 y 2 9 - 8 y 3 = 0

Resposta

x 2 + 13 y 2 9 - 8 y 3 = 0

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