Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Ache uma equação da superfície de rotação gerada pela curva

C : x 2 + y 2 = 1 x + z = 0

Em torno da reta

r : x = α y = α z = α

Passo 1

Chegou a hora das superfícies de rotação!!

O enunciado nos dá a curva que será rotacionada em torno da reta r .

Passo 2

Na teoria vimos que para resolver esse tipo de problema temos que ter três informações:

  • C = ( h , k , l ) um ponto pertencente a r .
  • r → = ( m , n , p ) o vetor diretor de r

E

Γ : f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

Do nosso enunciado conseguimos tirar que:

C = 0 ,   0,0 = ( h , k , l )

r → = m , n , p = 1 ,   1 ,   1

Γ = C : f x ,   y , z = 0 = x 2 + y 2 - 1 g x ,   y ,   z = 0 = x + z

Passo 3

Na teoria temos que:

m x + n y + p z = λ ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 + ( z - l ) 2 = μ 2

Escrevendo com os valores que temos:

x + y + z = λ x 2 + y 2 + z 2 = μ 2

Assim, temos 4 equações:

x 2 + y 2 = 1     ( 1 ) x + z = 0     ( 2 )

x + y + z = λ     ( 3 ) x 2 + y 2 + z 2 = μ 2     ( 4 )

Susbtituindo ( 2 ) em ( 3 ) , temos:

y = λ

Substituindo ( 1 ) em ( 4 ) :

z 2 = μ 2 - 1   ( 5 )

Da expressão ( 2 ) temos que x = - z , substituindo na expressão ( 1 ) essa relação e que y = λ teremos o seguinte sistema:

y = λ   ( 6 ) z 2 = μ 2 - 1   ( 7 ) z 2 + λ 2 = 1     ( 8 )     x + z = 0         ( 9 )

Devemos achar uma relação entre λ e µ tal que φ λ ,   μ = 0 , para isso vamos subtrair ( 7 ) e ( 8 ) :

- λ 2 = + μ 2 - 2

+ λ 2 + μ 2 - 2 = 0   ( 10 )

Coma relação ( 10 ) e as expressões ( 3 ) e ( 4 ) podemos escrever a equação da nossa superfície de revolução:

( x + y + z ) 2 + x 2 + y 2 + z 2 - 2 = 0

Uhulllll!! Terminamos!! ;)

Resposta

( x + y + z ) 2 + x 2 + y 2 + z 2 - 2 = 0

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