Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Dado o ponto A = ( 1 ,   2 ,   3 ) e a reta l , paralela ao eixo O z e que passa por A , faça um esboço e encontre uma equação para o lugar geométrico dos pontos X = ( x ,   y ,   z ) tais que

d X ,   l = 2

Passo 1

Como l é paralela ao eixo O z , seu vetor diretor é v → = ( 0 ,   0 ,   1 ) . Então, como l passa por A sua equação pode ser dada por

l : X = 1 ,   2 ,   3 + λ ( 0 ,   0 ,   1 )

Queremos que a distância de X = x ,   y ,   z até a reta l seja 2, então precisamos usar a fórmula de distância entre ponto e reta.

Passo 2

Um ponto genérico da reta l é Q = ( 1 ,   2 ,   3 + λ ) . Pelo que vimos na teoria, primeiro temos que encontrar o vetor X Q → :

X Q → = Q - X = ( 1 - x ,   2 - y ,   3 + λ - z )

X Q → e v → devem ser ortogonais, logo:

X Q → . v → = 0

1 - x ,   2 - y ,   3 + λ - z . 0 ,   0 ,   1 = 0

3 + λ - z = 0

λ = z - 3

Então, substituindo λ no ponto Q temos

Q = ( 1 ,   2 ,   z )

Passo 3

Agora, pra acharmos nosso lugar geométrico, temos que a distância entre Q e X deve ser 2. Pela fórmula da distância entre pontos, temos

d X ,   Q = x - 1 2 + y - 2 2 + z - z 2 = 2

Elevando os dois lados ao quadrado, encontramos a equação do nosso lugar geométrico:

x - 1 2 + y - 2 2 = 4

Isso nos dá uma superfície cilíndrica, esboçada abaixo :P

Resposta

Superfície cilíndrica: x - 1 2 + y - 2 2 = 4

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Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. b )x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om e n o r .
Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om a i o r .
Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno de O z ( Γ é descrita por equações paramétricas).(c) Γ : x = λ + 1 ,y = λ - 1 ,z = λ 2
Se as retas r e s são reversas, não ortogonais, a superfície gerada pela rotação de s em torno de r é uma que já estudamos. Identifique-a.
Completando os quadrados, identifique as superfícies de nível definidas por cada uma das formas quadráticas abaixo: 2 x 2 + y 2 - 4 x y - 4 y z