Exercícios Resolvidos de Superfícies

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 322-1.

Ache uma equação da superfície cônica de vértice ( 0 ,   0 ,   0 ) cuja diretriz é a parábola

p :   x 2 - 2 z + 1 = 0 y - z + 1 = 0

Passo 1

Vamos lá para mais um exercício de superfície cônica!! Hehe

Novamente, o enunciado nos dá o vértice V = ( 0,0 , 0 ) e a diretriz que é a parábola definida pelas equações p .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Da teoria sendo V = ( h ,   k ,   l ) e definirmos nossa diretriz como:

C : f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

A equação da nossa superfície será o sistema:

C : f h + λ ( x - h ) ,   k + λ ( y - k ) , l + λ ( z - l ) = 0 g h + λ ( x - h ) ,   k + λ ( y - k ) , l + λ ( z - l ) = 0

Passo 3

Substituindo, temos:

V = h ,   k ,   l = ( 0 ,   0 ,   0 )

C : f x ,   y , z = 0 = x 2 - 2 z + 1 g x ,   y ,   z = 0 = y - z + 1       ( 1 )

f λ x , λ y , λ z = 0 g λ x , λ y , λ z = 0       ( 2 )

Susbituindo as mudanças de variáveis de ( 2 ) em ( 1 ) , temos:

C : ( λ x ) 2 - 2 λ z + 1 = 0 λ y - λ z + 1 = 0

Isolando λ da expressão λ y - λ z + 1 = 0 :

λ = - 1 y - z   ( 3 )

Substituindoa relação ( 3 ) na expressão a seguir:

( λ x ) 2 - 2 λ z + 1 = 0

- x y - z   2 - 2 - 1 y - z   z + 1 = 0

Reescrevendo a expressão acima:

- x y - z   2 + 2 z y - z   + 1 = 0

x 2 + 2 z y - z + y - z 2 = 0

Acabamos!! Já estamos craques!! Haha

Resposta

x 2 + 2 z y - z + y - z 2 = 0

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