Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Enunciado

Encontra uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica que tem diretriz

Γ :   x 2 9 + z - 3 2 4 = y + 2 z = 0

E geratrizes paralelas ao vetor v → = ( 0 ,   1 ,   - 3 ) .

Passo 1

Para que um ponto P = ( x ,   y ,   z ) pertença a essa superfície cilíndrica, deve existir um ponto Q = ( u ,   v ,   w ) ∈ Γ tal que P Q → = λ v → , ou seja, tal que P Q → e v → sejam paralelos.

Então, nas relações abaixo precisamos eliminar os parâmetros u , v , w e λ

u 2 9 + w - 3 2 4 = v + 2 w = 0 u = x v = y + λ w = z - 3 λ

Substituindo as 4 últimas linhas na primeira, temos que

x 2 9 + 9 4 = y + z 3 + 2

Então, uma equação livre de parâmetros para a superfície é

4 x 2 - 36 y - 12 z + 9 = 0

Resposta

4 x 2 - 36 y - 12 z + 9 = 0

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Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om a i o r .
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